Kapitel 1 : Potenzen

1.0 Überblick

1.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

1.2 Potenzen mit gleichen Basen

1.3 Potenzen mit gleichen Exponenten

1.4 Wurzeln

1.5 Potenzen mit rationalen Exponenten

Quellen

Lambacher Schweizer: "Mathematik für Gymnasien Klasse 10" [ISBN: 978-3-12-734291-8]
Lambacher Schweizer Mathematik 10. Klasse
Wikipedia : Umlaufzeit
Wikipedia : Freier Fall

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1.5 Potenzen mit rationalen Exponenten

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Volumen und Seitenlänge

Formulierung des Problems:
Der würfelförmige Altar soll in seiner Grösse(Volumen $V$) verdoppelt werden:
$V_{alt}$ : Volumen des bestehenden Altars
$V_{neu}$ : Volumen des neuen Altars
$a_{alt}$ : Kantenlänge des bestehenden Altars, bekannt
$a_{neu}$ : Kantenlänge des neuen Altars, unbekannt
$\boxed{V_{neu} = 2 \cdot V_{alt}}$
$V_{alt} = a_{alt}^3$
$V_{neu} = a_{neu}^3$

Lösung:
$V_{neu} = 2 \cdot V_{alt}$
$a_{neu}^3 = 2 \cdot a_{alt}^3 ~~\big\vert ~~ \sqrt[3]{}$
$\boxed{a_{neu} = \sqrt[3]{2} \cdot a_{alt} = 2^{(\dfrac{1}{3})} \cdot a_{alt}}$

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Satz: Potenzen mit rationalen Exponenten
$\boxed{a^{(\dfrac{m}{n})} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m}$
mit $a \geq 0 \in \mathbb{N_0}$ und $m \in \mathbb{Z}$ und $n \in \mathbb{Z} \setminus{\{0\}}$

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Vereinfache: $\boxed{T = 5^{(\dfrac{1}{2})} \cdot 5^{(\dfrac{1}{4})}}$
$T = 5^{(\dfrac{1}{2})} \cdot 5^{(\dfrac{1}{4})}$
$\boxed{T = 5^{(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4})} = 5^{(\dfrac{3}{4})} = \sqrt[4]{5^3}}$

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Vereinfache: $\boxed{T = 5^{(\dfrac{1}{2})} : 5^{(\dfrac{1}{4})}}$
$T = 5^{(\dfrac{1}{2})} : 5^{(\dfrac{1}{4})}$
$\boxed{T = 5^{(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4})} = 5^{(\dfrac{1}{4})} = \sqrt[4]{5}}$

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Aufgabe: Bestimme Fallzeit $t$ eines Körpers aus Fallhöhe $h$ im Schwerefeld der Erde

$h$ : bekannte Höhe
$g = 9.81 \dfrac{m}{s^2}$ : bekannte Erdbeschleunigung

Berechne die Fallzeit $t$:

Ansatz:
$h = \dfrac{g}{2} t^2$

$t^2 = \dfrac{2h}{g}$

$\boxed{t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}}$

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3. Keplersches Gesetz $T_1$ : Umlaufszeit Planet1
$T_2$ : Umlaufszeit Planet2
$r_1$ : Grosse Halbachse Planet1 (Abstand Planet1 - Sonne)
$r_2$ : Grosse Halbachse Planet2 (Abstand Planet2 - Sonne)

$\boxed{\dfrac{T_1^2}{T_2^2} = \dfrac{r_1^3}{r_2^3}}$

Aufgabe a): Bestimme die Halbachse der Venus

Gegeben:
$T_E = 365.3 d$ : Umlaufszeit Erde
$T_V = 224.7 d$ : Umlaufszeit Venus
$r_E = 149.6 \cdot 10^6 km$ : Halbachse Erde
$r_V = ???$ : : Halbachse Venus ???

Lösung:
$\dfrac{T_E^2}{T_V^2} = \dfrac{r_E^3}{r_V^3}$    :    Auflösen nach $r_V$

$T_E^2 \cdot r_V^3 = r_E^3 \cdot T_V^2$

$r_V^3 = \dfrac{r_E^3 \cdot T_V^2}{T_E^2}$

$\boxed{r_V = \sqrt[3]{\dfrac{r_E^3 \cdot T_V^2}{T_E^2}}}$

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