Kapitel 1 : Potenzen
Quellen
Lambacher Schweizer: "Mathematik für Gymnasien Klasse 10" [ISBN: 978-3-12-734291-8]
Lambacher Schweizer Mathematik 10. Klasse
1.3 Potenzen mit gleichen Exponenten
Produkt von Potenzen mit gleichen Exponenten:
$\boxed{a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n}$ mit $\{a,b\} \in \mathbb{Z}$ und $n \in \mathbb{Z}$
Quotient von Potenzen mit gleichen Exponenten:
$\boxed{a^n : b^n = (\dfrac{a}{b})^n }$ mit $a \in \mathbb{Z}$ und $b \in \mathbb{Z}\setminus{\{0\}}$ und $n \in \mathbb{Z}$
Beispiel: $\boxed{2^3 \cdot 3^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3)= (2 \cdot 3)^3}$
Beispiel: $\boxed{2^2 : 4^2 = \dfrac{2^2}{4^2} = \dfrac{2 \cdot 2}{4 \cdot 4} = \dfrac{2}{4} \cdot \dfrac{2}{4} = (\dfrac{2}{4})^2 }$
Aufgabe: Bilde und vereinfache Potenzen:
$\boxed{125x^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x = 5^3 \cdot x^3 = (5x)^3}$
Aufgabe: Kantenlänge $k$ eines Würfels wird um Faktor $a$ vergrössert.
Wie verändert sich die Oberfläche?
$A_1 = 6k^2 \rightarrow A_a = 6(ak)^2$
$\dfrac{A_a}{A_1} = \dfrac{6(ak)^2}{6k^2} = \dfrac{a^2 k^2}{k^2} = a^2$
$\boxed{A_a = a^2 \cdot A_1}$
: Die Oberfläche des Würfels ändert sich quadratisch mit $a$.
Wie verändert sich das Volumen?
$V_1 = k^3 \rightarrow V_a = (ak)^3$
$\dfrac{V_a}{V_1} = \dfrac{(ak)^3}{k^3} = \dfrac{a^3 k^3}{k^3} = a^3$
$\boxed{V_a = a^3 \cdot V_1}$
: Das Volumen des Würfels ändert sich kubisch mit $a$.
Aufgabe: Vereinfache $\boxed{T = (p+q)^2 \cdot (p-q)^2}$
$T = (p+q)^2 \cdot (p-q)^2$
$T = (p^2 + q^2 + pq + pq) \cdot (p^2 + q^2 - pq - pq)$
$T = (p^2 + q^2 + pq + pq) \cdot (p^2 + q^2 - pq - pq)$ erden zu viele Terme!
einfacher:
$T = (p+q)^2 \cdot (p-q)^2$
$T = (p+q)(p-q) \cdot (p+q)(p-q)$ 3. Binomische Formel: $(p+q)(p-q) = p^2 - q^2$
$T = (p^2 - q^2) \cdot (p^2 - q^2)$
$T = (p^2 - q^2)^2$
$\boxed{T = p^4 + q^4 -2p^2q^2}$
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