Kapitel 1 : Potenzen
Quellen
Lambacher Schweizer: "Mathematik für Gymnasien Klasse 10" [ISBN: 978-3-12-734201-7]
Klett Verlag :
Lambacher Schweizer Mathematik 10
Wikipedia :
Potenz (Mathematik)
Wikipedia :
Vorsätze für Masseinheiten
1.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Darstellung der Potenzen
Darstellung: 1 Tausend : $1000 =: 10^3$
Darstellung: 1 Million : $1000000 =: 10^6$
Darstellung: Zehnerpotenzen mit positiven ganzen Exponenten
$1 = 10^0$
$10 = 10^1$
$100 = 10^2$
$1000 = 10^3$
$10000 = 10^4$
$100000 = 10^5$
$1000000 = 10^6$
Darstellung: Zehnerpotenzen mit negativen ganzen Exponenten
$1 = 10^0$
$\dfrac{1}{10} = 0.1 = 10^{-1}$
$\dfrac{1}{100} = 0.01 = 10^{-2}$
$\dfrac{1}{1000} = 0.001 = 10^{-3}$
$\dfrac{1}{10000} = 0.0001 = 10^{-4}$
$\dfrac{1}{100000} = 0.00001 = 10^{-5}$
$\dfrac{1}{1000000} = 0.000001 = 10^{-6}$
Darstellung: Zweierpotenzen
$1 = 2^{0}$
$2 = 2^{1}$
$4 = 2^{2}$
$8 = 2^{3}$
$16 = 2^{4}$
$32 = 2^{5}$
$64 = 2^{6}$
$128 = 2^{7}$
$256 = 2^{8}$
$65536 = 2^{16}$
$4294967296 = 2^{32}$
$18446744073709551616 = 2^{64}$
$\dfrac{1}{2^0} = \dfrac{1}{1} = 1 = 2^{0}$
$\dfrac{1}{2^1} = \dfrac{1}{2} = 0.5 = 2^{-1}$
$\dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{4} = 0.25 = 2^{-2}$
$\dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8} = 0.125 = 2^{-3}$
$\dfrac{1}{2^4} = \dfrac{1}{16} = 0.0625 = 2^{-4}$
$\dfrac{1}{2^8} = \dfrac{1}{256} = 0.00390625 = 2^{-8}$
$\dfrac{1}{2^{16}} = \dfrac{1}{65536} = 0.0000152587890625 = 2^{-16}$
Darstellung: Potenzen zur Basis $a$
$a = a^1$
$a \cdot a = a^2$
$a \cdot a \cdot a = a^3$
$a \cdot a \cdot a \cdot a = a^4$
$\boxed{a^k = a \cdot a \cdot .. \cdot a}$ mit $k \in \mathbb{N}$ und $a \in \mathbb{N}$
$a^0 = 1$
$a^{-1} = \dfrac{1}{a}$
$a^{-2} = \dfrac{1}{a^2}$
$a^{-3} = \dfrac{1}{a^3}$
$\boxed{a^{-k} = \dfrac{1}{a^k} = \dfrac{1}{a \cdot a \cdot .. \cdot a}}$ mit $k \in \mathbb{N}$ und $a \in \mathbb{N}$
Tabelle: Benennung Zehnerpotenzen positiver Exponent
"kilo" $\Leftrightarrow k = 10^3$ (Tausend)
"Mega" $\Leftrightarrow M = 10^6$ (Million)
"Giga" $\Leftrightarrow G = 10^9$ (Milliarde)
"Terra" $\Leftrightarrow T = 10^{12}$ (Billion)
Beispiel: ein Kilometer : $1 km = 1 \cdot 10^3 m$
Tabelle: Benennung Zehnerpotenzen negativer Exponent
"milli" $\Leftrightarrow m = 10^{-3}$ : ein Tausendstel
"micro" $\Leftrightarrow \mu = 10^{-6}$ : ein Millionstel
"nano" $\Leftrightarrow n = 10^{-9}$ : ein Milliardstel
"pico" $\Leftrightarrow p = 10^{-12}$ : ein Billionstel
Beispiel: ein Microgramm : $1 \mu g = 1 \cdot 10^{-6} g$
Aufgabe: Schreibe mit Zehnerexponenten $a = 520000$
Rechnung: $a = 520000 = 5.2 \cdot 100000 = 5.2 \cdot 10^{5}$
Lösung: $\boxed{a = 520000 = 5.2 \cdot 10^{5}}$
Aufgabe: Schreibe als Dezimalzahl: $a = 3^{-3}$
Rechnung: $a = 3^{-3} = \dfrac{1}{3^{3}} = \dfrac{1}{27} = 0.\overline{037}$
Lösung: $\boxed{a = 3^{-3} = 0.\overline{037}}$
Aufgabe: Berechne: $x = \dfrac{3^{-4}}{5^{7}}$
Rechnung: $x = \dfrac{3^{-4}}{5^{7}} = \dfrac{1}{3^{4} \cdot 5^{7}} = \dfrac{1}{3^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{3} \cdot 5^{4}} = \dfrac{1}{9 \cdot 9 \cdot 125 \cdot 625} = \dfrac{1}{6328125}$
Lösung: $\boxed{x = \dfrac{3^{-4}}{5^{7}} = \dfrac{1}{6328125}}$
Aufgabe: Berechne: $p = -2^{-3}$
Rechnung: $p = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = (-2) \cdot 4 = -8$
Lösung: $\boxed{p = -2^{-3} = -8}$
Aufgabe: Berechne: $t = (4:8)^{-2} + (-6)^2$
Rechnung: $t = (4:8)^{-2} + (-6)^2 = (\dfrac{1}{2})^{-2} + (-6) \cdot (-6) = (\dfrac{2}{1})^2 + 36 = 2^2 + 36 = 4 + 36 = 40$
Lösung: $\boxed{t = (4:8)^{-2} + (-6)^2 = 40}$
Aufgabe: Breite eines DNS-Doppelstrangs: $b = 2.5 nm$ - Darstellung in Zehnerpotenzen?
Rechnung: $b = 2.5 nm= 2.5 \cdot nm = 2.5 \cdot 10^{-9} \cdot m = 2.5 \cdot 10^{-9} m$
Lösung: $\boxed{b = 2.5 nm = 2.5 \cdot 10^{-9} m}$
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