Kapitel 1 : Potenzen
Quellen
Lambacher Schweizer: "Mathematik für Gymnasien Klasse 10" [ISBN: 978-3-12-734201-7]
Klett Verlag :
Lambacher Schweizer Mathematik 10
Wikipedia :
Potenz (Mathematik)
1.0 Überblick
Darstellung der Potenzen
Darstellung der Potenzen von 10
$10^0 = 1$
$10^1 = 10$
$10^2 = 10 \cdot 10 = 100$
$10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$
$10^4 = 10^2 \cdot 10^2 = 100 \cdot 100 = 10000$
Allgemein:
$10^n := 10 \cdot 10 \cdot .. \cdot 10$
mit $n \in \mathbb{N}$ : Exponent ist ganze Zahl : Ganzzahliger Exponent
bzw. $n \in \mathbb{Q}$ : Exponent ist rationale Zahl : Rationaler Exponent
Darstellung der Potenzen von 2
$1 = 2^0$
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
$8 = 2^3$
$16 = 2^4$
$32 = 2^5$
$64 = 2^6$
$128 = 2^7$
$256 = 2^8$
$65536 = 256 \cdot 256 = 2^{8} \cdot 2^{8} = 2^{16}$
$65536 \cdot 65536 = 2^{16} \cdot 2^{16} = 2^{32}$
Wichtig für die Darstellung der Zustände eines Bits:
- Ein Bit hat 2 ($2^1 = 2$)Zustände:
$0$ und $1$
- Zwei Bit haben 4 ($2^2 = 4$)Zustände:
$00$ , $01$ , $10$ , $11$
- Drei Bit haben 8 ($2^3 = 8$)Zustände:
$000$ , $001$ , $010$ , $011$
$100$ , $101$ , $110$ , $111$
- Vier Bit haben 16 ($2^4 = 16$)Zustände:
$0000$ , $0001$ , $0010$ , $0011$
$0100$ , $0101$ , $0110$ , $0111$
$1000$ , $1001$ , $1010$ , $1011$
$1100$ , $1101$ , $1110$ , $1111$
Beispiele mit positivem Zehner-Exponenten
Regel: "Für eine positive Potenz des Exponenten das Komma der Dezimalzahl um eine Stelle nach links schieben"
$3.0 \cdot 10 = 30.0 = 3.0 \cdot 10^1$
$33.0 = 3.3 \cdot 10 = 3.3 \cdot 10 = 3.3 \cdot 10^1$
$333.0 = 3.33 \cdot 100 = 3.33 \cdot 10^2$
$3333.0 = 3.333 \cdot 1000 = 3.333 \cdot 10^3$
$33333.0 = 3.3333 \cdot 10000 = 3.3333 \cdot 10^4$
$32768 = 32.768 \cdot 1000 = 32.768 \cdot 10^3$
$4294967296 = 4294967.296 \cdot 1000 = 4294.967296 \cdot 1000 \cdot 1000 = 4.294967296 \cdot 1000 \cdot 1000 \cdot 1000 = 4.294967296 \cdot 10^3 \cdot 10^3 \cdot 10^3 = 4.294967296 \cdot 10^9$
Beispiele mit negativem Zehner-Exponenten
Regel: "Für eine negative Potenz des Exponenten das Komma der Dezimalzahl um eine Stelle nach rechts schieben"
$\dfrac{1}{1} = 1.0 = 1.0 \cdot 10^0$
$\dfrac{1}{10} = 0.1 = 0.1 \cdot 10^0 = 1.0 \cdot 10^{-1}$
$\dfrac{1}{100} = 0.01 = 0.01 \cdot 10^0 = 1.0 \cdot 10^{-2}$
$\dfrac{1}{1000} = 0.001 = 0.001 \cdot 10^0 = 1.0 \cdot 10^{-3}$
$\dfrac{1}{1000000} = 0.000001 = 0.000001 \cdot 10^0 = 1.0 \cdot 10^{-6}$
Beispiele Zehnerpotenzen und Einheiten
Umrechnung von Metern in Millimeter : $ 1 m = 1000 mm = 10^{+3} mm$ daraus folgt : $\boxed{1 m = 10^3 mm}$
Umrechnung von Millimetern in Meter : $ 0.001 m = 1.0 \cdot 10^{-3} m = 1.0 mm $ daraus folgt : $\boxed{1 mm = 10^-3 m}$
Beispiele Naturkonstanten
Naturkonstanten:
"Zahlen oder physikalische Grössen mit Einheiten, die in den Naturgesetzen vorkommen und von denen man annimmt, dass sie durch die Natur vorgegeben sind und überall im Universum denselben Wert haben – und auch zu allen Zeiten hatten und auch in allen Zeiten haben werden."
Wikipedia :
Physikalische Konstante
Fallbeschleunigung auf der Erde : $g = 9.81 \dfrac{m}{s^2}$
Lichtgeschwindigkeit : $c = 299792458 \dfrac{m}{s} = 299792.458 \dfrac{km}{s}= 2.99792458 \cdot 10^{8}\dfrac{m}{s} $
Elektronenmasse : $m_e = 9.109383701528 \cdot 10^{-31} kg$
Elementarladung : $e = 1.602176634 \cdot 10^{-19} C = 1.602176634\cdot 10^{-19} A \cdot s$
Gravitationskonstante : $G = 6.6743015 \cdot 10^{-11} \dfrac{m^3}{kg \cdot s^2}$
(kommt vor im Gravitationsgesetz: $F = G \dfrac{m \cdot M}{r^2}$)
Potenz Null
Regel:
"Irgendeine Zahl hoch Null gibt immer Eins"
$\boxed{a^0 = 1}$ mit $a \in \mathbb{R}$
Potenz einer Zahl mit ganzzahligem Exponenten
$\boxed{x^n = x \cdot x ..(n-times).. \cdot x}$ mit $x \in \mathbb{R}$ , $n \in \mathbb{Z}$ und $n > 0$
$\boxed{x^{-n} = \dfrac{1}{x \cdot x ..(n-times).. \cdot x}}$ mit $x \in \mathbb{R}$ , $n \in \mathbb{Z}$ und $n > 0$
Potenzen mit gleicher Basis
$\boxed{x^n \cdot x^m = x^{n + m}}$ mit $x \in \mathbb{R}$ und $\{n, m\} \in \mathbb{R}$
$\boxed{\dfrac{x^n}{x^m} = x^{n - m}}$ mit $x \in \mathbb{R}$ und $\{n, m\} \in \mathbb{R}$
Beispiele:
$3^2 \cdot 3^3 = 9 \cdot 27 = 243 = 3^{2 + 3} = 3^5$
$\dfrac{3^3}{3^2} = \dfrac{27}{9} = 3 = 3^{3-2} = 3^1 = 3$
Potenzen mit gleichen Exponenten
$\boxed{x^a \cdot y^a = (x \cdot y)^a}$ mit $\{x, y\} \in \mathbb{R}$ und $a \in \mathbb{R}$
$\boxed{x^a / y^a = \dfrac{x^a}{y^a} = (\dfrac{x}{y})^a}$ mit $\{x, y\} \in \mathbb{R}$ und $a \in \mathbb{R}$
Wurzeln
Wurzeln sind eine spezielle Darstellung von Potenzen mit rationalem Exponenten:
Definition der Quadratwurzel: $\boxed{\sqrt[2]{x} = \sqrt{x} := x^{1/2} = x^{0.5}}$
Definition der Kubikwurzel: $\boxed{\sqrt[3]{x} := x^{1/3} = x^{0.\overline{3}}}$
Regel:
"Die n-te Wurzel lässt sich äquivalent als 1 durch n-te Potenz schreiben."
$\boxed{\sqrt[n]{x} := x^{1/n}}$
Verwendung in Aufgabe : $\boxed{x^n = a}$ mit $a \in \mathbb{R}$ und $a > 0$, $n \in \mathbb{N}$ und $n > 0$
Wie gross ist $x$ bei bekanntem $n$ und $a$ ?
Lösung: Ziehe auf beiden Seiten die n-te Wurzel:
$x^n = a$ $~~\big\vert ~\sqrt[n]{}$
$\sqrt[n]{x^n} = \sqrt[n]{a}$
$\boxed{x = \sqrt[n]{a} = a^{1/n}}$
Potenzen mit rationalem Exponenten
Potenzen mit gleicher Basis
$\boxed{x^p \cdot x^q = x^{p + q}}$ mit $x \in \mathbb{R}$ und $x > 0$ und $\{p, q\} \in \mathbb{Q}$
$\boxed{\dfrac{x^p}{x^q} = x^{p - q}}$ mit $x \in \mathbb{R}$ und $x > 0$ und $\{p, q\} \in \mathbb{Q}$
Potenzen mit gleichem Exponenten
$\boxed{x^p \cdot y^p = (x \cdot y)^p}$ mit $\{x,y\} \in \mathbb{R}$ und $\{x,y\} > 0$ und $p \in \mathbb{Q}$
$\boxed{\dfrac{x^p}{y^p} = (\dfrac{x}{y})^p}$ mit $x \in \mathbb{R}$ und $x > 0$ und $p \in \mathbb{Q}$
Potenzen von Potenzen
$\boxed{(x^p)^q = x^{(p+q)}}$ mit $x \in \mathbb{R}$ und $x > 0$ und $\{p,q\} \in \mathbb{Q}$
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