Kapitel 1 : Teilbarkeit
Quellen
Lambacher Schweizer: "Mathematik für Gymnasien Klasse 6" [ISBN: 978-3-12-733267-4]
Klett Verlag :
Lambacher Schweizer Mathematik 6
Wikipedia :
Teilbarkeit
Wikipedia :
Quersumme
1.2 Teilbarkeitsregeln
Definition Quersumme:
"Als Quersumme (oder Ziffernsumme) bezeichnet man die Summe der Ziffernwerte einer natürlichen Zahl."
Beispiel Quersumme:
Quersumme von $z=36036$ ist Quersumme von $z$ : $QS(z) = 3 + 6 + 0 + 3 + 6 = 18$
Definition ungerade Quersumme:
"Als ungerade Quersumme bezeichnet man die Summe aller ungeraden Ziffern einer natürlichen Zahl von links nach rechts."
Beispiel ungerade Quersumme:
Ungerade Quersumme von $z=36036$ ist $UQ(z) = 3 + 0 + 6 = 9$
Definition gerade Quersumme:
"Als gerade Quersumme bezeichnet man die Summe aller geraden Ziffern einer natürlichen Zahl von links nach rechts."
Beispiel gerade Quersumme:
Gerade Quersumme von $z=36036$ ist $GQ(z) = 6 + 3 = 9$
Teilbarkeit durch 2
Endstellen-Regel:
"Eine Zahl ist genau dann durch $2$ teilbar, wenn ihre Endziffer durch $2$ teilbar ist."
Teilbarkeit durch 3
Quersummen-Regel:
"Eine Zahl ist genau dann durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist."
Teilbarkeit durch 4
Endstellen-Regel:
"Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die Zahl, die aus den letzten zwei Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist."
Teilbarkeit durch 5
Endstellen-Regel:
"Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die letzte Ziffer durch 5 teilbar ist."
Teilbarkeit durch 6
Regel:
"Eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist."
Teilbarkeit durch 7
Regel:
"Eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn diejenige Zahl durch 7 teilbar ist, die du erhältst, wenn du das Doppelte der letzten Ziffer vom Rest der Zahl abziehst."
Beispiel:
Ist $z=161$ durch $7$ teilbar?
Das Doppelte der letzten Ziffer: $z=161 \Rightarrow 2 \cot LZ(z) = 2 \cdot 1$
Bilde Differenz Rest der Zahl minus Doppelte der letzten Ziffer: $R(z) - 2 \cdot LZ(z) = 16 - 2 = 14$ $\Rightarrow 14$ ist durch $7$ teilbar!
Ergebnis: $z=161$ ist durch $7$ teilbar!
Teilbarkeit durch 8
Endstellen-Regel:
"Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die Zahl, die aus den letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 8 teilbar ist."
Beispiel:
Ist $z=1048$ durch $8$ teilbar?
Nimm die letzten drei Ziffer: $r=048$
Ist diese Zahl $r=048$ durch $8$ teilbar? ja: $r : 8 = 048 : 8 = 48 : 8 = 6$
Ergebnis: $z=1048$ ist durch $8$ teilbar!
Teilbarkeit durch 9
Quersummen-Regel:
"Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist."
Teilbarkeit durch 10
Endstellen-Regel:
"Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 ist."
Teilbarkeit durch 11
Quersummen-Regel:
"Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre ungerade Quersumme minus ihrer geraden Quersumme durch 11 teilbar ist."
Beispiel:
Ist $z=365161445$ durch $11$ teilbar?
Bilde ungerade Quersumme: $UQ(z)=3+5+6+4+5=23$
Bilde gerade Quersumme: $GQ(z)=6+1+1+4=12$
Differenz: $UQ(z) - GQ(z) = 23 - 12 = 11 \Rightarrow 11$ ist durch $11$ teilbar
Ergebnis: $z=365161445$ ist durch $11$ teilbar!
Schreibweise: "ist Teiler von"
Definition: Ist Teiler von:
"Wenn $a$ ein Teiler von $b$ ist, schreibt man: $a \mid b$"
"Wenn $a$ kein Teiler von $b$ ist, schreibt man: $a \nmid b$"
Beispiel:
$5$ ist Teiler von $25$ $~~\Rightarrow~~ 5 \mid 25$
Beispiel:
$7$ ist kein Teiler von $25$ $~~\Rightarrow~~ 7 \nmid 25$
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