KVHS Northeim 2025 : Astronomie - eine Reise durch Raum und Zeit

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Unsere Welt, unsere Erkenntnis

Unser Erfahrungshorizont

Leben auf der Erde - aktueller Stand

 •  Leben in Siedlungen durch soziale und technische Evolution entwickelt
 •  was sind die Regeln/Gesetze dieser Evolution?
 •  Regeln/Gesetze dieser Evolution resultieren aus den Naturwissenschaften
 •  weitere Handwerkzeuge : Mathematik, Philosophie

Leben auf der Erde - Naturgesetze

 •  Versuch, die Regeln der Natur zu finden : Naturgesetze
 •  Grössen wie Masse, Länge, Fläche, Raum, Zeit wechelwirken in diesen Naturgesetzen
 •  unverzichtbar: mathematische Sätze/Beweise
 •  Naturgesetze der Physik und Mathematik : eindeutige und reproduzierbare Beschreibung
    des Verhaltens und der Wechselwirkung von physikalischen Grössen!

Gültigkeit von mathematischen Gesetzen

 •  jeder mathematische Satz(Behauptung) muss durch einen Beweis bewiesen werden!
 •  dieser Satz/Beweis ist damit an jedem Ort und für alle Zeiten gültig im gesamten Universum!

Beispiel für die zeitliche Konsistenz:
Bereits vor 4000 Jahren(!) waren die Babylonier in der Lage,
Gleichungssysteme der Form $x + y = p$ und $x \cdot y = q$ zu lösen.
Die allgemeinen Lösungen sind heute immer noch gültig!

Gültigkeit von physikalischen Gesetzen

 •  Verifikation durch wiederholte Messungen und Auswertungen
 •  Naturkonstanten gelten an jedem Ort und zu jeder Zeit im Universum
 •  physikalische Gesetze gelten an jedem Ort und zu jeder Zeit im Universum
 •  gelten nur solange, bis andere Messungen/Theorien eine Korrektur der aktuellen Theorie erfordern
 •  damit sind physikalische Gesetze nicht allzeit gültig!

Beispiele für Naturgesetze: Newtons Axiome

0. Grundgrössen:
    $t : [t]=s$ : Skalar der Zeit
    $\vec{s} : [s]=m$ : Vektor des Ortes in Abhängigkeit der Zeit
    $\vec{v} : [v]=\dfrac{m}{s}$ : Vektor der Geschwindigkeit in Abhängigkeit der Zeit

    $\vec{a} : [a]=\dfrac{m}{s^2}$ : Vektor der Beschleunigung in Abhängigkeit der Zeit

1. Newtonsches Axiom
$\boxed{\vec{F}=0 ~~\Rightarrow~~ \vec{v} = \vec{v}(t) = constant}~~$ "Ein kräftefreier Körper der Masse $m$
bleibt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit $v$ ."

2. Newtonsches Axiom
$\boxed{\vec{F} = m \cdot \vec{a}}~~~$ "Kraft gleich Masse mal Beschleunigung."

3. Newtonsches Axiom
$\boxed{\vec{F}_{A \rightarrow B} = \vec{F}_{A \leftarrow B} = -\vec{F}_{A \rightarrow B}}~~~$
"Kraft gleich Gegenkraft"
"erfährt ein Körper B (Masse B) eine Kraft $\vec{F}_{A \rightarrow B}$ von einem Körper A (Masse A), so erfährt
der Körper A eine gleich grosse aber entgegengesetzt gerichtete Kraft $\vec{F}_{B \rightarrow A}$ des Körpers B.

Beispiele für Naturgesetze: Newtons Gravitationsgesetz

 •  Quelle: Wikipedia(https://de.wikipedia.org/wiki/Newtonsches_Gravitationsgesetz)

 •  Gravitationsgesetz gilt überall im Universum, wenn Masse miteinander wechselwirken.
 •  Beobachtung: zwei Massen $M$(Sonne) und $m$(Erde) mit Abstand $r$ ziehen sich an.
 •  Vorgabe: Masse $M$(Sonne) zieht Masse $m$(Erde) mit der Kraft $F_M$ an.
 •  Symmetrie: Masse $m$(Erde) zieht $M$(Sonne) mit der Kraft $F_m$ an.
 •  Beobachtung: je grösser die Masse $M$, desto grösser die Kräfte $F_M$ und $F_m$ .
 •  Beobachtung: je grösser die Masse $m$, desto grösser die Kräfte $F_M$ und $F_m$ .
 •  Beobachtung: je grösser der Abstand $r$, desto kleiner die Kräfte $F_M$ und $F_m$ .
 •  Gesucht: mathematische Gleichungen mit den Grössen $F_M$, $F_m$, $M$, $m$, $r$ ?!
    welche diese Beobachtung korrekt wiedergeben!!!

 •  Gravitationsgesetz in Worten: Anziehungskraft(zwischen zwei Massen) =
        Gravitationskonstante * Masse1 * Masse2 / Abstand(Masse1-Masse2)
 •  Eindeutige klassische mathematische Formulierung in Newtons Gravitationsgesetz.

         $\boxed{F_1 = G \cdot \dfrac{m_1 \cdot m_2}{r^2} = F_2}$ (121)
Physikalische Grössen:
 •  $F_1$ : $[F_1]=N=\dfrac{kg \cdot m}{s^2}$ : Kraft auf Masse $m_1$ in Newton
 •  $F_2$ : $[F_2]=N=\dfrac{kg \cdot m}{s^2}$ : Kraft auf Masse $m_2$ in Newton
 •  $m_1$ : $[m_1]=kg$ : Masse $m_1$ in Kilogramm
 •  $m_2$ : $[m_2]=kg$ : Masse $m_2$ in Kilogramm
 •  $r$ : $[r]=m$ : Abstand Masse1 zu Masse2 in Metern
 •  $G=6.6743 \cdot 10^{-11} \dfrac{m^3}{kg \cdot s^2}$ : Gravitationskonstante

Finden physikalischer Gesetze durch Theorie und Experiment

Experimentelle Formulierung von physikalischen Gesetzen:

 •  vereinfachtes Modell eines physikalischen Systems
 •  Formulierung aller beteiligten physikalischen Grössen
 •  Abhängigkeiten dieser Grössen durch Messreihen quantifizieren
 •  Aufstellen der beschreibenden Gleichungen des betrachteten physikalischen Systems
 •  diese Gleichungen enthalten alle das System bestimmenden Grössen

Theoretische Formulierung von physikalischen Gesetzen:
 •  vereinfachtes Modell eines physikalischen Systems
 •  Formulierung aller beteiligten physikalischen Grössen
 •  Formulierung aller beteiligten mathematischen Abhängigkeiten
 •  Extraktion der Zielgleichungen mit mathematischen Methoden
 •  wenn möglich: Beweis der Theorie durch das Experiment!

Prüfung des Gravitationsgesetzes: Gravitationswaage

Quelle: Wikipedia - Gravitationswaage(https://de.wikipedia.org/wiki/Gravitationswaage)

Anwendung des Gravitationsgesetzes: Planetenbewegung

Quelle: Wikipedia - Zweikörperproblem(https://de.wikipedia.org/wiki/Zweikörperproblem)
Quelle: Wikipedia - Keplersche Gesetze(https://de.wikipedia.org/wiki/Keplersche_Gesetze)

Reduktion des Planeten-Problems auf ein System mit zwei Massen:

 •  Masse Sonne : $M=1.989 \cdot 10^{30} kg$
 •  Masse Erde : $m=5.972 \cdot 10^{24} kg$
 •  Gravitationskonstante : $G=6.6743 \cdot 10^{-11} \dfrac{m^3}{kg \cdot s^2}$
 •  zeitabhängige Beschleunigung Sonne: $a_M$ : $[a_M]=\dfrac{m}{s^2}$
 •  zeitabhängige Beschleunigung Erde: $a_m$ : $[a_m]=\dfrac{m}{s^2}$
 •  Gravitationsgesetz Newton Kraftgleichung für Sonne:
    $F_m = G \cdot \dfrac{m \cdot M}{r^2}$ und $F_m = m \cdot a_M$
 •  Gravitationsgesetz Newton Kraftgleichung für Erde:
    $F_M = G \cdot \dfrac{m \cdot M}{r^2}$ und $F_M = M \cdot a_m$
 •  die Lösung dieser Gleichungen mit den aufgeführten Parameter führt auf
    Bahnkurven in der Form von Kegelschnitten:

 •  im Brennpunkt der Kegelschnitte(Massenschwerpunkt) befindet sich die Sonne
 •  der Parameter $p$ gibt die Exzentrizität der Bahn an:
 •  $e <= 0$ : Planeten umkreisen die Sonne auf Kreisbahnen (genauer Ellipsen)
 •  $1 <= e$ : Kometen umkreisen die Sonne auf Parabeln oder Hyperbeln

ChatGPT : Lösung des Zwei-Körper-Problems

Aus dem Gravitationsgesetz und den Newtonschen Axiomen ergeben sich
zwei Differentialgleichungen 2ter Ordnung (Massen $m$ und $M$).
Der Trick zur Transformation eines gemeinsamen Massenschwerpunkts (Masse $m_s$)
reduziert die Aufgabe zu einer Differentialgleichung 2ter Ordnung.
Deren Lösung ergibt die Bahnkurve eines Planeten $r = r(\theta)$ : $\boxed{r(\theta) = \dfrac{p}{1 + e \cos(\theta)}}$
Quelle: ChatGPT - Two-Body-Problem

Quellen

Wikipedia - Diverse Quellen
Wikipedia - Algebra
ChatGPT - Frage: "Two Body Problem"