Fallgesetze - Senkrechter Wurf
Übersicht
• Masse $m$ wird mit der Anfangsgeschwindigkeit $v_{0y}$ in positive Y-Richtung geworfen.
• Während des Fluges wirkt die Erdbeschleunigung $g$ auf die Masse $m$ als
negative Beschleunigung in negativer Y-Richtung.
• Masse $m$ und Erdbeschleunigung $g$ werden als konstant angenommen.
• Frei wählbarer Anfangsort $y_0$ als Abwurfhöhe.
Weg-Zeit-Funktionen $y(t)$ des Senkrechten Wurfs:
$\boxed{y(t) = v_{0y} t -\dfrac{g t^2}{2} +y_0}$ (1)
Geschwindigkeit-Zeit-Funktionen $v_y(t)$ des Senkrechten Wurfs:
$\boxed{v_y(t) = v_{0y} - gt}$ (2)
Steigzeit $t_h$ :
$\boxed{t_h = \dfrac{v_{0y}}{g}}$ (3)
Wurfhöhe $y_h$ :
$\boxed{y_h(t_h) = \dfrac{v_{0y}^2}{2g} +y_0}$ (4)
Wurfdauer $t_d$ :
$\boxed{t_d = \dfrac{v_{0y}}{g} \pm\sqrt{\dfrac{v_{0y}^2}{g^2} + \dfrac{2 y_0}{g}}}$ (5)
Aufprallgeschwindigkeit $v_p$ :
$\boxed{v_p(t_d) = -\sqrt{v_{0y}^2 + 2 g y_0}}$ (6)
Download
• Download dieser Seite als Pdf-Dokument: SenkrechterWurf.pdf• Download des Python-Programms: SenkrechterWurf.py
Herleitung
Geschwindigkeit in $y$-Richtung setzt sich zusammen aus* $v_{gy} = -gt$ : Fallgeschwindigkeit in negativer $y$-Richtung
* $v_{0y} = const$ : Steiggeschwindigkeit in positiver $y$-Richtung
$\boxed{v_y(t) = v_{0y} - gt}$ (2)
Weg-Zeit-Funktion durch Integration:
$y(t) = \int\limits_t{v_y(t) dt} $
$y(t) = \int\limits_t{ v_{0y} dt} - \int\limits_t{gt dt} $
mit der Integrationskonstanten $y_0$ :
$\boxed{y(t) = v_{0y} t -\dfrac{g t^2}{2} +y_0}$ (1)
Weitere Berechnungen
Steigzeit
Mit (2) : Wurfhöhe erreicht, wenn $v_{0y}$ identisch $v_{gy}$ und damit die resultierende Geschwindigkeit gleich null ist.$v_y(t_h) = v_{0y} - gt_h = 0$
$gt_h = v_{0y}$
Zeit, bis Steighöhe erreicht ist:
$\boxed{t_h = \dfrac{v_{0y}}{g}}$ (3)
Wurfhöhe
Aus (1) resultiert die Wurfhöhe $y_h(t_h)$ :$y_h(t_h) = v_{0y} t_h -\dfrac{g t_h^2}{2} +y_0$
$y_h(t_h) = v_{0y} \dfrac{v_{0y}}{g} -\dfrac{g [\dfrac{v_{0y}}{g}]^2}{2} +y_0$
$y_h(t_h) = \dfrac{v_{0y}^2}{g} - \dfrac{v_{0y}^2}{2g} +y_0$
$\boxed{y_h(t_h) = \dfrac{v_{0y}^2}{2g} +y_0}$ (4)
Wurfdauer
Wurfdauer entspricht der Zeit, bis $y(t_d) = 0$ ist :$y(t_d) = 0 = v_{0y} t_d -\dfrac{g t_d^2}{2} +y_0$
$0 = -\dfrac{2v_{0y} t_d}{g} + t_d^2 - \dfrac{2 y_0}{g}$
$0 = t_d^2 -\dfrac{2v_{0y} t_d}{g} - \dfrac{2 y_0}{g}$
$P := \dfrac{v_{0y}}{g}$
$Q := - \dfrac{2 y_0}{g}$
$0 = t_d^2 - 2 P t_d + Q$
$0 = t_d^2 - 2 P t_d + P^2 - P^2 + Q$
$0 = [t_d - P]^2 - P^2 + Q$
$[t_d - P]^2 = P^2 - Q$
$t_d - P = \pm\sqrt{P^2 - Q}$
$t_d = P \pm\sqrt{P^2 - Q}$
$\boxed{t_d = \dfrac{v_{0y}}{g} \pm\sqrt{\dfrac{v_{0y}^2}{g^2} + \dfrac{2 y_0}{g}}}$ (5)
Aufprallgeschwindigkeit
Aus (2) und (5) folgt für die Geschwindigkeit:$v_y(t_d) = v_{0y} - gt_d$ (2)
$t_d = \dfrac{v_{0y}}{g} \pm\sqrt{\dfrac{v_{0y}^2}{g^2} + \dfrac{2 y_0}{g}}$ (5)
$v_p(t_d) = v_{0y} - g[\dfrac{v_{0y}}{g} \pm\sqrt{\dfrac{v_{0y}^2}{g^2} + \dfrac{2 y_0}{g}}]$
$v_p(t_d) = v_{0y} - v_{0y} \mp\sqrt{g^2\dfrac{v_{0y}^2}{g^2} + g^2\dfrac{2 y_0}{g}}$
$\boxed{v_p(t_d) = -\sqrt{v_{0y}^2 + 2 g y_0}}$ (6)
Darstellung der Gleichungen mit Python
Sehen wir uns nun all diese Gleichungen in einem darstellenden Python Programm an:
Download des Python-Programms: SenkrechterWurf.py
Das Python-Programm FreierFall startet mit der Einbindung zweier Bibliotheken:
einer Plot-Bibliothek mit Namen PLT und einer Numerischen Bibliothek mit Namen NUM.
Danach erfolgt die Ausgabe des Programm-Headers "Freier Fall".
Im folgenden Abschnitt "Make Data" werden alle Daten definiert und erzeugt.
• die Erdbeschleunigung G mit $9.81 \dfrac{m}{s^2}$
• und die Anfangshöhe Y0 mit $10m$.
Es folgt die Erzeugung eines Vektors VT über die Zeit von $0s$ bis $1.5s$ in $20$ Schritten.
Mit diesem Zeitvektor berechnet sich ein Geschwindigkeitsvektor VV und ein Ortsvektor VY.
Danach finden wir die Gleichungen für die Fallzeit TF, die Fallhöhe YH und
die Aufprallgeschwindigkeit VP.
Mit diesen Daten werden im nächsten Abschnitt "Make Plot" ein Orts-Zeit-Plot $y(t)$ gegen $t$
und ein Geschwindigkeits-Zeit-Plot $v(t)$ gegen $t$ berechnet und ausgegeben.
"Run" zeigt das Ergebnis der berechneten Freier-Fall-Parameter und die beiden Plots $y(t)$ und $v(t)$.
Die berechnete Fallzeit von $t_f=1.4s$ stimmt mit der Zeit für die Bewegung von $y(t=0)=yh$
bis $y(tf)=0$ überein.
Ebenso zeigt der $v(t)$ Plot die Aufprallgeschwindigkeit $v_p$ von $-14 \dfrac{m}{s}$ nach $t_f=1.4s$.
Ausgabe nach dem Start des Python-Programms:
WebSites Module