Hauptachsen-Transformation

ToDo

  • Die Fälle 1. - 4. müssen noch überarbeitet werden !!!
  • Python Programm "Gaußsches Eleminationsverfahren"muss geschrieben werden!!!
  • Python Demo-Programm muss geschrieben werden!!!
  • Gleichung (20) muss mit Python-Programm geprüft werden!!!

Quellen

mathebibel.de : Eigenvektoren berechnen
Wikipedia : Hauptachsentransformation
Wikipedia : Kegelschnitt
Wikipedia : Drehmatrix
Download als PDF-Dokument : 2206201019_MajorAxisTransformation.pdf

Übersicht

Die allgemeine Gleichung 2. Grades beschreibt in der 2-dimensionalen $x * y \in \mathbb{R^2}$ XY-Ebene
eine Ellipse, Hyperbel oder Parabel in gedrehter Ursprung-Nicht-Mittelpunkt-Lage:

$\boxed{F(x, y) = a^* x^2 + b^* y^2 + c^* x y + d^* x + e^* y + f = 0}$   (1)

Gleichung (1) kann ohne Einschränkung der Allgemeinheit in Gleichung (2) überführt werden:

$\boxed{F(x, y) = a x^2 + b y^2 + c x y + d x + e y + 1 = 0}$   (2)

Dabei geben die Terme "$dx$" und "$ey$" ein Mass der Verschiebung vom Ursprung und "$cxy$" ein Mass
der Drehung bezüglich der Achsen des Koordinatensystems an.

Ziel der Hauptachsentransformation:
Gleichung (2) soll in eine Gleichung ohne Dreh- bzw. gemischten Term "$cxy$" umgeformt werden:

$\boxed{F(x', y') = \bar a x'^2 + \bar b y'^2 + \bar d x' + \bar e y' + 1 = 0}$   (3)

Zusammen mit quadratischer Ergänzung in "$x, x^2$" und "$y, y^2$" ergibt sich dann
(in unserem Fall eine Ellipse) eine Gleichung (4) der Form:

$\boxed{F(x', y') = \dfrac{(x' - x_m)^2}{\overline{\bar a}^2} + \dfrac{(y' - y_m)^2}{\overline{\bar b}^2} = 1}$   (4)

Herleitung

Gegeben

Gleichung (2): $a x^2 + b y^2 + c x y + d x + e y + 1 = 0$
In Matrizen-Schreibweise umformen:
$a x^2 + b y^2 + c x y + d x + e y + 1 = \begin{pmatrix} x & y \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \dfrac{c}{2} \\ \dfrac{c}{2} & b \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} + d x + e y + 1 = 0$

Formal: $F(x, y) = \vec x^T A \vec x + d x + e y + 1 = 0$
mit $\vec x^T = (x, y)$ und der symmetrischen Matrix $A$:

$A := \begin{pmatrix} a & \dfrac{c}{2} \\ \dfrac{c}{2} & b \\ \end{pmatrix}$ (5)

Eigenwerte der Matrix A

Eigenwerte der symmetrischen (2, 2) - Matrix $A$ als Lösung der Eigenwertgleichung:

$\boxed{det(A - \lambda E) = 0}$   (6)

mit den Eigenwerten $\lambda_1$ und $\lambda_2$:

$D(\lambda) = det[A - \lambda E] = det\begin{bmatrix} a - \lambda & \dfrac{c}{2} \\ \dfrac{c}{2} & b - \lambda \\ \end{bmatrix} = 0$

$D(\lambda) = (a - \lambda)(b - \lambda) - \dfrac{c^2}{4} = 0$

$D(\lambda) = ab - b\lambda - a\lambda + \lambda^2 - \dfrac{c^2}{4} = 0$

$D(\lambda) = \lambda^2 - \lambda(a + b) + ab - \dfrac{c^2}{4} = 0$

$\lambda^2 - \lambda(a + b) + \dfrac{(a + b)^2}{4} = \dfrac{c^2}{4} + \dfrac{(a + b)^2}{4} - ab$

$\bigg[\lambda - \dfrac{a + b}{2}\bigg]^2 = \dfrac{(a + b)^2 - 4ab + c^2}{4}$

$\lambda_{12} - \dfrac{a + b}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{(a + b)^2 - 4ab + c^2}{4}}$

$\lambda_{12} = \dfrac{a + b}{2} \pm \dfrac{\sqrt{(a - b)^2 + c^2}}{2}$

$\lambda_{12} = \dfrac{a + b \pm \sqrt{(a - b)^2 + c^2}}{2}$

Damit berechnen sich die Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2$ zu:

$\boxed{\lambda_{1} = \dfrac{a + b + \sqrt{(a - b)^2 + c^2}}{2}}$   (7)
$\boxed{\lambda_{2} = \dfrac{a + b - \sqrt{(a - b)^2 + c^2}}{2}}$   (8)

Eigenvektoren der Matrix A

Aufgrund der beiden Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2$ erhalten wir zwei Gleichungssysteme
und damit die Eigenvektoren $\vec e_1$ und $\vec e_2$ :

$\boxed{(A - \lambda_1 E) \vec e_1 = \begin{pmatrix} a - \lambda_1 & \dfrac{c}{2} \\ \dfrac{c}{2} & b - \lambda_1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e_{1x} \\ e_{1y} \\ \end{pmatrix} = 0}$   (9)
$\boxed{(A - \lambda_2 E) \vec e_2 = \begin{pmatrix} a - \lambda_2 & \dfrac{c}{2} \\ \dfrac{c}{2} & b - \lambda_2 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e_{2x} \\ e_{2x} \\ \end{pmatrix} = 0}$   (10)

Aus (9) ergeben sich die Gleichungen:

$\boxed{(a - \lambda_1)e_{1x} + \dfrac{c}{2}e_{1y} = 0}$   (11)
$\boxed{\dfrac{c}{2}e_{1x} + (b - \lambda_1)e_{1y} = 0}$   (12)

Gleichung (7) in Gleichung (11):

$(a - \lambda_1)e_{1x} + \dfrac{c}{2}e_{1y} = 0$

$\dfrac{2a - a - b - \sqrt{(a - b)^2 + c^2}}{2} e_{1x} + \dfrac{c}{2}e_{1y} = 0$

$\boxed{\big[a - b - \sqrt{(a - b)^2 + c^2}\big] e_{1x} + c e_{1y} = 0}$   (13)

Gleichung (7) in Gleichung (12):

$\dfrac{c}{2}e_{1x} + (b - \lambda_1)e_{1y} = 0$

$\dfrac{c}{2}e_{1x} + (b - \dfrac{a + b + \sqrt{(a - b)^2 + c^2}}{2})e_{1y} = 0$

$\dfrac{c}{2}e_{1x} + (\dfrac{2b - a - b - \sqrt{(a - b)^2 + c^2}}{2})e_{1y} = 0$

$\boxed{\big[b - a - \sqrt{(a - b)^2 + c^2}\big] e_{1x} + c e_{1y} = 0}$   (14)

in expliziter Form für $e_{1y}$:
$\boxed{e_{1y} = \dfrac{a - b + \sqrt{(a - b)^2 + c^2}}{c} e_{1x}}$   (15)

!!! die folgenden Fälle müssen noch überarbeitet werden !!!

Fall 1:
$[a - b - \sqrt{(a - b)^2 + c^2}\big] \ne 0$ und $c \ne 0$
  • wähle $e_{1x} := 1$
  • berechne $e_{1y}$ aus Gleichung (15)
$\dfrac{c}{2}e_{1x} + (b - \lambda_1)e_{1y} = 0$

Fall 2: $[a - b - \sqrt{(a - b)^2 + c^2}\big] = 0$ und $c \ne 0$
  • wähle $e_{1x} := 1$
  • berechne $e_{1y}$ aus Gleichung (15)

Fall 3: $[a - b - \sqrt{(a - b)^2 + c^2}\big] \ne 0$ und $c = 0$
  • wähle $e_{1y} := 1$
  • berechne $e_{1y}$ aus Gleichung (15)

Fall 4: $[a - b - \sqrt{(a - b)^2 + c^2}\big] = 0$ und $c = 0$
  • wähle $e_{1x} := 0$
  • berechne $e_{1y}$ aus Gleichung (15)

Entsprechend berechnet sich der Eigenvektor $\vec e_2 = (e_{2x}, e_{2y})^T$
Normierung eines Eigenvektors $\vec e = (e_{x}, e_{y})^T$ :

$\boxed{\vec e = (\dfrac{e_x}{\sqrt{e_x^2 + e_y^2}}, \dfrac{e_y}{\sqrt{e_x^2 + e_y^2}})^T}$   (16)

Ergebnis:
$\boxed{\vec e_1 = (e_{1x}, e_{1y})^T}$ und $\boxed{\vec e_2 = (e_{2x}, e_{2y})^T}$   (17)

Transformationsmatrix

Aufstellen der Transformationsmatrix $S$ mit spaltenweiser Anordnung der Eigenvektoren:

$S := \begin{pmatrix} e_{1x} & e_{2x} \\ e_{1y} & e_{2y} \\ \end{pmatrix}$   (18.1)

Transformation, ersetze $x, y$ durch $u, v$:

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} = S\begin{pmatrix} u \\ v \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} e_{1x} & e_{2x} \\ e_{1y} & e_{2y} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \\ \end{pmatrix}$   (18.2)

Entsprechende Drehmatrix $R$ um den Drehwinkel $\alpha$:

$R = \begin{pmatrix} e_{1x} & e_{2x} \\ e_{1y} & e_{2y} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \\ \end{pmatrix} $

ergibt:

$\boxed{\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha = -\dfrac{e_{2x}}{e_{1x}}= \dfrac{e_{1y}}{e_{2y}}}$   (19)

Damit wird die Gleichung (2) :

$a x^2 + b y^2 + c x y + d x + e y + 1 = 0$

übergeführt in:

$\boxed{\lambda_1 u^2 + \lambda_2 v^2 +\epsilon u + \delta v + \omega = 0}$   (20)

"Beweis" durch Einsetzen: Transformationen für $x, y$ (Gleichung 18.2):

$x = e_{1x}u + e_{2x}v$
$y = e_{1y}u + e_{2y}v$

in Gleichung (2):

$a x^2 + b y^2 + c x y + d x + e y + 1 = 0$

einsetzen:

$-1 = a [e_{1x}u + e_{2x}v]^2 + b [e_{1y}u + e_{2y}v]^2 +$
           $c[e_{1x}u + e_{2x}v] [e_{1y}u + e_{2y}v] + d [e_{1x}u + e_{2x}v] + e [e_{1y}u + e_{2y}v]$

$-1 = ae_{1x}^2u^2 + ae_{2x}^2v^2 + 2ae_{1x}e_{2x}uv + 2be_{1y}^2u^2 + be_{2y}^2v^2 + 2be_{1y}e_{2y}uv +$
           $ce_{1x}e_{1y}u^2 + ce_{1y}e_{2y}uv + ce_{1y}e_{2x}uv + ce_{2x}e_{2y}v^2 + $
           $de_{1x}u + de_{2x}v + e e_{1y}u + e e_{2y}v$

$-1 = u^2[ae_{1x}^2 + be_{1y}^2 + ce_{1x}e_{1y}] + v^2[ae_{2x}^2 + be_{2y}^2 + ce_{2x}e_{2y}] + $
            $uv[2ae_{1x}e_{2x} + 2be_{1y}e_{2y} + ce_{1y}e_{2y} + ce_{1y}e_{2x}] + $
            $u[de_{1x} + e e_{1y}] + v[de_{2x} + e e_{2y}]$

(???richtig???) Einschub: Probe: gemischter $uv$-Term muss Null werden:

$0 \overset{!}{=} [2ae_{1x}e_{2x} + 2be_{1y}e_{2y} + ce_{1y}e_{2y} + ce_{1y}e_{2x}]$

damit:

$0 = u^2[ae_{1x}^2 + be_{1y}^2 + ce_{1x}e_{1y}] + v^2[ae_{2x}^2 + be_{2y}^2 + ce_{2x}e_{2y}] + $
        $u[de_{1x} + e e_{1y}] + v[de_{2x} + e e_{2y}] + 1$

Vergleich mit Gleichung (20):

$\lambda_1 u^2 + \lambda_2 v^2 +\epsilon u + \delta v + \omega = 0$

$\Rightarrow$  PROOF!!! $\boxed{\lambda_1 = ae_{1x}^2 + be_{1y}^2 + ce_{1x}e_{1y}}$
$\Rightarrow$  PROOF!!! $\boxed{\lambda_2 = ae_{2x}^2 + be_{2y}^2 + ce_{2x}e_{2y}}$
$\Rightarrow$  PROOF!!! $\boxed{\epsilon = de_{1x} + e e_{1y}}$
$\Rightarrow$  PROOF!!! $\boxed{\delta = de_{2x} + e e_{2y}}$
$\Rightarrow$  PROOF!!! $\boxed{\omega = 1}$

Die Gleichung (20) beschreibt in den neuen Koordinaten $u, v$ eine achsenparallele Ellipse!
Die Normalform findet sich durch quadratische Ergänzung:

$\lambda_1 \big[u^2 + \dfrac{\epsilon}{\lambda_1}u\big] + \lambda_2[v^2 + \dfrac{\delta}{\lambda_2}v ] = -\omega$

$\lambda_1 \big[u + \dfrac{\epsilon}{2\lambda_1}\big]^2 + \lambda_2[v^2 + \dfrac{\delta}{\lambda_2}v ] = \dfrac{\epsilon^2}{4\lambda_1^2} -\omega$

$\lambda_1 \big[u + \dfrac{\epsilon}{2\lambda_1}\big]^2 + \lambda_2[v + \dfrac{\delta}{2\lambda_2}]^2 = \dfrac{\epsilon^2}{4\lambda_1^2} + \dfrac{\delta^2}{4\lambda_2^2} -\omega$

$\lambda_1 \big[u + \dfrac{\epsilon}{2\lambda_1}\big]^2 + \lambda_2[v + \dfrac{\delta}{2\lambda_2}]^2 = \dfrac{\epsilon^2 \lambda_2^2 + \delta^2 \lambda_1^2 - 4\omega\lambda_1^2 \lambda_2^2}{4\lambda_1^2\lambda_2^2}$

$\boxed{\dfrac{4 \lambda_1^3\lambda_2^2 \big[u + \dfrac{\epsilon}{2\lambda_1}\big]^2}{\epsilon^2 \lambda_2^2 + \delta^2 \lambda_1^2 - 4\omega\lambda_1^2 \lambda_2^2} + \dfrac{{4\lambda_1^2\lambda_2^3}[v + \dfrac{\delta}{2\lambda_2}]^2}{\epsilon^2 \lambda_2^2 + \delta^2 \lambda_1^2 - 4\omega\lambda_1^2 \lambda_2^2} = 1}$

Mit den Definitionen für die grosse und kleine Halbachse $a, b$ und die
Mittelpunktsverschiebung $M = (u_m, v_m)$:

$\boxed{a^2 := \dfrac{\epsilon^2 \lambda_2^2 + \delta^2 \lambda_1^2 - 4\omega\lambda_1^2 \lambda_2^2}{4 \lambda_1^3\lambda_2^2}}$
$\boxed{b^2 := \dfrac{\epsilon^2 \lambda_2^2 + \delta^2 \lambda_1^2 - 4\omega\lambda_1^2 \lambda_2^2}{4\lambda_1^2\lambda_2^3}}$
$\boxed{u_m := -\dfrac{\epsilon}{2\lambda_1}}$
$\boxed{v_m := -\dfrac{\delta}{2\lambda_2}}$

folgt die Normalform der Ellipse im gedrehten achsenparallelen $u, v$-Koordinatensystem:

$\boxed{\dfrac{(u - u_m)^2}{a^2} + \dfrac{(v - v_m)^2}{b^2} = 1}$

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