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Partielle Integration

Übersicht

Gegeben

Integration eines Produkts zweier Funktionen $f(t)$ und $g(t)$:

$\boxed{F(t) = \int \limits_t f(t) g(t) dt}$ (1)

Gesucht

Stammfunktion $F = F(t)$

Lösung

Die Lösung der Stammfunktion $F(t)$ ergibt sich zu:

$\boxed{F(t) = \int \limits_t f^\prime(t) g(t) dt = f(t) g(t) - \int \limits_t f(t) g^\prime(t) dt}$ (2.2)

oder

$\boxed{F(t) = \int \limits_t f(t) g^\prime(t) dt = f(t) g(t) - \int \limits_t f^\prime(t) g(t) dt}$ (3.2)

Quellen

Wikipedia : Partielle Integration

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Herleitung

(1) : $F(t) = \int \limits_t f(t) g(t) dt$

$\dfrac{d [f(t) g(t)]}{dt} = \dfrac{df(t)}{dt} g(t) + f(t) \dfrac{dg(t)]}{dt}$

$\int \limits_t \dfrac{d [f(t) g(t)]}{dt} = \int \limits_t \dfrac{df(t)}{dt} g(t) + \int \limits_t f(t) \dfrac{dg(t)}{dt}$

$\int \limits_t d[f(t) g(t)] = \int \limits_t \dfrac{df(t)}{dt} g(t) dt + \int \limits_t f(t) \dfrac{dg(t)}{dt} dt$

$f(t) g(t) = \int \limits_t \dfrac{df(t)}{dt} g(t) dt + \int \limits_t f(t) \dfrac{dg(t)}{dt} dt$

$\boxed{\int \limits_t \dfrac{df(t)}{dt} g(t) dt = f(t) g(t) - \int \limits_t f(t) \dfrac{dg(t)}{dt} dt}$ (2.1)

$\boxed{\int \limits_t f^\prime(t) g(t) dt = f(t) g(t) - \int \limits_t f(t) g^\prime(t) dt}$ (2.2)

$\boxed{\int \limits_t f(t) \dfrac{dg(t)}{dt} dt = f(t) g(t) - \int \limits_t \dfrac{df(t)}{dt} g(t) dt}$ (3.1)

$\boxed{\int \limits_t f(t) g^\prime(t) dt = f(t) g(t) - \int \limits_t f^\prime(t) g(t) dt}$ (3.2)

Beispiel

$\int \limits_t t e^{a t} dt$ (4)

(3) : $f(t) := t$ und $g^\prime(t) := e^{a t}$

$\Rightarrow f^\prime(t) = 1$ und $g(t) := \dfrac{1}{a}e^{a t}$

$\Rightarrow \int \limits_t t e^{a t} dt = \dfrac{t}{a}e^{a t} - \dfrac{1}{a} \int \limits_t e^{a t} dt$

$\boxed{\int \limits_t t e^{a t} dt = \dfrac{t}{a}e^{a t} - \dfrac{1}{a^2} e^{a t}}$

Probe:
$\dfrac{d}{dt}\int \limits_t t e^{a t} dt = \dfrac{d}{dt}[\dfrac{t}{a}e^{a t}] - \dfrac{d}{dt} [\dfrac{1}{a^2} e^{a t}]$

$t e^{a t} = \dfrac{1}{a}\dfrac{d}{dt}[t e^{a t}] - \dfrac{1}{a^2}\dfrac{d}{dt} [e^{a t}]$

$t e^{a t} = \dfrac{1}{a}[e^{a t} + t a e^{a t}] - \dfrac{1}{a} [e^{a t}]$

$t e^{a t} = \dfrac{1}{a}[e^{a t} + t a e^{a t} - e^{a t}]$

$t e^{a t} = t e^{a t}$ q.e.d

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