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Komplexe Algebra

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als PDF-Dokument : Komplexe Algebra

Definitionen

$Z, X, Y, ...$ : Komplexe Zahlen, $Z, X, Y, ... \in \mathbb{C}$

Basis Beziehungen

$\boxed{j^2 = -1}$

$\boxed{e^{j\phi} = \cos(\phi) + j \sin(\phi)}$ : Eulersche Formel

$Z = a + jb = r e^{j\phi} = r \cos(\phi) + j r \sin(\phi)$

Kartesische Koordinaten in Polarkoordinaten

$\boxed{Z : Z = a + jb \rightarrow Z = r e^{j\phi}}$

$\boxed{r := \vert{Z}\vert = \sqrt{a^2 + b^2}}$ $r$ : Betrag von $Z$

$\boxed{\phi := \arctan(\dfrac{b}{a})}$ $\phi$ : Phase von $Z$

Polarkoordinaten in Kartesische Koordinaten

$\boxed{Z : Z = r e^{j\phi} \rightarrow Z = a + jb}$

$\boxed{a = r \cos(\phi)}$     $a$ : Realanteil von $Z$

$\boxed{b = r \sin(\phi)}$      $b$ : Imaginaeranteil von $Z$

Addition

$Z = X + Y = a_x + j b_x + a_y + j b_y = (a_x + a_y) + j(b_x + b_y)$

$\boxed{Z = X + Y = (a_x + a_y) + j(b_x + b_y)}$

Subtraktion

$Z = X - Y = a_x + j b_x - a_y - j b_y = (a_x - a_y) + j(b_x - b_y)$

$\boxed{Z = X - Y = (a_x - a_y) + j(b_x - b_y)}$

Multiplikation

Kartesische Koordinaten:

$Z = X \cdot Y = (a_x + j b_x) \cdot (a_y + j b_y) = (a_x a_y - b_x b_y) + j(a_x b_y + a_y b_x)$

$\boxed{Z = X \cdot Y = (a_x a_y - b_x b_y) + j(a_x b_y + a_y b_x)}$

Polarkoordinaten:

$Z = X \cdot Y = r_x e^{j\phi_x} \cdot r_y e^{j\phi_y} = r_x r_y e^{j(\phi_x +\phi_y)}$

$\boxed{Z = X \cdot Y = r_x r_y e^{j(\phi_x +\phi_y)}}$

Division

Kartesische Koordinaten:

$Z = X : Y = \dfrac{X}{Y} = \dfrac{a_x + j b_x}{a_y + j b_y} = \dfrac{(a_x + j b_x)(a_y - j b_y)}{(a_y + j b_y)(a_y - j b_y)} = \dfrac{a_x a_y + b_x b_y + ja_y b_x - ja_x b_y}{a^2_y + b^2_y}$

$\boxed{Z = X : Y = \dfrac{X}{Y} = \dfrac{a_x a_y + b_x b_y}{a^2_y + b^2_y} + j \dfrac{a_y b_x - a_x b_y}{a^2_y + b^2_y}}$

Polarkoordinaten:

$Z = X : Y = \dfrac{X}{Y} = \dfrac{r_x e^{j\phi_x}}{r_y e^{j\phi_y}} = \dfrac{r_x}{r_y} e^{j(\phi_x - \phi_y)}$

$\boxed{Z = X : Y = \dfrac{X}{Y} = \dfrac{r_x}{r_y} e^{j(\phi_x - \phi_y)}}$

Multiplikation mit konjugiert komplexer Zahl

$\boxed{Z = X \cdot \overline{X} = (a + j b) \cdot (a - j b) = a^2 + b^2}$

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