Algebra - Quadratische Ergänzung

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1. Quadratische Ergänzung: Spezielle "p-q-Formel"

Gegeben:

Das Polynom $\boxed{f(x) = y(x) = y = x^2 + px + q}$ (1.1)
mit den Konstanten $p, q \in \mathbb{R}$ und Variablen $x, y(x) \in \mathbb{R}$.

Gesucht:

Nullstelle(n) des Polynoms (1.1) unter der Bedingung:
$y(x_i) = 0$

Lösung:

$\boxed{x_{12} = -\dfrac{b}{2} \pm \sqrt{\dfrac{p^2}{4} - q}}$ (2.2)
Fallunterscheidung: 1. Argument der Wurzel $0 < \dfrac{p^2}{4} - q$ $\Leftrightarrow \dfrac{p^2}{4} > q$
$\Rightarrow$ 2 Lösungen und damit zwei Nullstellen:
$\boxed{x_{1} = -\dfrac{p}{2} + \sqrt{\dfrac{p^2}{4} - q}}$ $\boxed{x_{2} = -\dfrac{p}{2} - \sqrt{\dfrac{p^2}{4} - q}}$

2. Argument der Wurzel $0 = \dfrac{p^2}{4} - q$ $\Leftrightarrow \dfrac{p^2}{4} = q$
$\Rightarrow$ 1 Lösung und damit eine Nullstelle:
$\boxed{x_{1} = -\dfrac{p}{2}}$

3. Argument der Wurzel $\dfrac{p^2}{4} - q < 0$ $\Leftrightarrow \dfrac{p^2}{4} < q$
$\Rightarrow$ Keine Lösung und damit keine Nullstelle!

Rechenweg:

Polynom mit Bedingung $y(x_i) = 0$:
$0 = y(x_i) = x_i^2 + px_i + q$
$x_i^2 + px_i + q = 0 \ \ \bigg\vert $
Trick unter Verwendung der Binomischen Gleichung: $(x + u)^2 = x^2 + 2ux + u^2$
Setze $u := \dfrac{p}{2}$ und ergänze den Nullterm: $0 = +\dfrac{p^2}{4} - \dfrac{p^2}{4}$:
$x_i^2 + p x_i +\dfrac{p^2}{4} - \dfrac{p^2}{4} + q = 0$
Dabei entspricht der Term:
$x_i^2 + p x_i +\dfrac{p^2}{4} == (x_i^2 + \dfrac{p}{2})^2$
und damit folgt:
$(x_i + \dfrac{p}{2})^2 - \dfrac{p^2}{4} + q = 0 \ \ \bigg\vert +\dfrac{p^2}{4} - q$
$(x_i + \dfrac{p}{2})^2 = + \dfrac{p^2}{4} - q \ \ \bigg\vert \sqrt{. = . }$    (auf beiden Seiten Wurzel ziehen)
$x_{12} + \dfrac{p}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{p^2}{4} - q} \ \ \bigg\vert - \dfrac{p}{2}$    (daher prinzipiell zwei Lösungen $x_{12}$)
$\boxed{x_{12} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\dfrac{p^2}{4} - q}}$

2. Quadratische Ergänzung: Allgemeine "p-q-Formel"

Gegeben:

Das Polynom $\boxed{f(x) = y(x) = y = ax^2 + px + q}$ (2.1)
mit den Konstanten $a, p, q \in \mathbb{R}$ und Variablen $x, y(x) \in \mathbb{R}$,
weiterhin: $a \neq 0$

Gesucht:

Nullstelle(n) des Polynoms (2.1) unter der Bedingung:
$y(x_i) = 0$

Lösung:

$\boxed{x_{12} = -\dfrac{p}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{p^2}{4a^2} - \dfrac{q}{a}}}$ (2.2)
Fallunterscheidung:
1. Argument der Wurzel $0 < \dfrac{p^2}{4a^2} - \dfrac{q}{a}$ $\Leftrightarrow \dfrac{p^2}{4a^2} > \dfrac{q}{a}$
$\Rightarrow$ 2 Lösungen und damit zwei Nullstellen:
$\boxed{x_{1} = -\dfrac{p}{2a} + \sqrt{\dfrac{p^2}{4a^2} - \dfrac{q}{a}}}$ $\boxed{x_{2} = -\dfrac{p}{2a} - \sqrt{\dfrac{p^2}{4a^2} - \dfrac{q}{a}}}$

2. Argument der Wurzel $0 = \dfrac{p^2}{4a^2} - \dfrac{q}{a}$ $\Leftrightarrow \dfrac{p^2}{4a^2} = \dfrac{q}{a}$
$\Rightarrow$ 1 Lösung und damit eine Nullstelle:
$\boxed{x_{1} = -\dfrac{p}{2a}}$


3. Argument der Wurzel $\dfrac{p^2}{4a^2} - \dfrac{q}{a} < 0$ $\Leftrightarrow \dfrac{p^2}{4a^2} < \dfrac{q}{a}$
$\Rightarrow$ Keine Lösung und damit keine Nullstelle!

Rechenweg:

Polynom mit Bedingung $y(x_i) = 0$:
$0 = y(x_i) = ax_i^2 + px_i + q$
$ax_i^2 + px_i + q = 0 \ \ \bigg\vert \cdot\dfrac{1}{a}$
$x^2_i + \dfrac{p}{a}x_i + \dfrac{q}{a} = 0$
Trick unter Verwendung der Binomischen Gleichung: $(x + u)^2 = x^2 + 2ux + u^2$
Setze $u := \dfrac{p}{2a}$ und ergänze den Nullterm: $0 = +\dfrac{p^2}{4a^2} - \dfrac{p^2}{4a^2}$:
$x_i^2 + \dfrac{p}{a}x_i +\dfrac{p^2}{4a^2} - \dfrac{p^2}{4a^2} + \dfrac{q}{a} = 0$
Dabei entspricht der Term:
$x_i^2 + \dfrac{p}{a}x_i +\dfrac{p^2}{4a^2} == (x_i^2 + \dfrac{p}{2a})^2$
und damit folgt:
$(x_i + \dfrac{p}{2a})^2 - \dfrac{p^2}{4a^2} + \dfrac{q}{a} = 0 \ \ \bigg\vert +\dfrac{p^2}{4a^2} - \dfrac{q}{a}$
$(x_i + \dfrac{p}{2a})^2 = + \dfrac{p^2}{4a^2} - \dfrac{q}{a} \ \ \bigg\vert \sqrt{. = . }$    (auf beiden Seiten Wurzel ziehen)
$x_{12} + \dfrac{p}{2a} = \pm \sqrt{\dfrac{p^2}{4a^2} - \dfrac{q}{a}} \ \ \bigg\vert - \dfrac{p}{2a}$    (daher prinzipiell zwei Lösungen $x_{12}$)
$\boxed{x_{12} = -\dfrac{p}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{p^2}{4a^2} - \dfrac{q}{a}}}$

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