Algebra - Rechenregeln

Download: 2205250902_AlgebraRules.pdf

Übersicht

Regeln für:
- Gleichheitszeichen
- Strichrechnung
- Punktrechnung
- Potenzen
- Klammern

Erweiterung:
- Bruchrechnen

Rechen-Reihenfolge: 1. Klammern -> 2. Potenzen -> 3. Punktrechnung -> 4. Strichrechnung

Definitionen für das Rechnen mit Reellen Zahlen:
- Symbole $\boxed{a, b, c, ...\in \mathbb{R}}$ : damit sind $a, b, c, ...$ Reelle Zahlen (Elemente der Vereinigungsmenge der "Ganzen Zahlen" und "Kommazahlen")
- $\boxed{\Rightarrow}$ heisst 'daraus folgt' (bedeutet: aus linkem Term/linker Gleichung folgt rechter Term/rechte Gleichung)
- $\boxed{\Leftrightarrow}$ heisst 'äquivalent' (bedeutet: links und rechts stehen gleiche und nicht dieselben Terme/Gleichungen)
- $\boxed{=:}$ heisst 'wird definiert als' und damit: linke Seite wird definiert durch rechte Seite
- $\boxed{\sim}$ heisst 'proportional zu' und damit: linke Seite proportional zu rechter Seite

Regeln

Gleichheitszeichen

Beispiele mit Gleichheitszeichen:
- $1 = 1$
- $2 = 2$
- $5 = 5$
allgemein: $\boxed{a = a}$

Vorgriff:
- $5 = 2 + 3$
- $2 + 3 = 5$
allgemein: $a + b = c \Leftrightarrow c = c$
Auf beiden Seiten des Gleichheitszeichen muss immer der gleiche Wert stehen (vgl. Waage)!
Dies gilt immer bei Umformungen von einer Ausgangsgleichung zu einer Ergebnisgleichung:
$2 + 3 = 5$
ergibt: $5 = 5$

Strichrechnung

Beispiele mit Plus:
$1 + 2 = 3$
$3 + 5 = 8$
allgemein: $\boxed{a + b = c}$

und Minus:
$3 - 2 = 1$
$8 - 5 = 3$
allgemein: $\boxed{a - b = c}$

Punktrechnung

Beispiele mit "Mal"(Multiplikation):
$1 \cdot 2 = 2$
$2 \cdot 3 = 6$
allgemein: $a \cdot b = c = ab, ab$ d.h. Malzeichen kann auch weggelassen werden!

und "Geteilt"(Division):
$3 / 1 = \dfrac{3}{1} = 3$

$8 / 2 = \dfrac{8}{2} = 4$

allgemein Division: $\boxed{a / b = \dfrac{a}{b} = c}$

Potenzen

$a^b$ heisst $a$ hoch $b$
bedeutet: $b$ mal $a$ als Faktor (also mit Malzeichen!) hinschreiben

Beispiel:
$1^2 = 1 \cdot 1 = 1$ (!)
$2^2 = 2 \cdot 2 = 4$
$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$
allgemein: $\boxed{a^2 = a \cdot a}$
ebenso: $\boxed{a^3 = a \cdot a \cdot a}$
und: $\boxed{a^4 = a \cdot a \cdot a \cdot a}$
Spezialfall: $\boxed{a^0 =: 1}$
Beispiel: $3^0 = 1$

Klammern

Grundregel: Klammern besitzen die höchste "Rechenstufe" gegen über Potenzen, Punktrechnung und Strichrechnung
Ausmultiplizieren der Klammer:
Beispiel: $3 \cdot (4 + 5) = 3 \cdot 9 = 27 \Leftrightarrow 3 \cdot (4 + 5) = 3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 12 + 15 = 27$
allgemein: $\boxed{a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c = a(b + c) = ab + bc}$
Beispiel: $7 \cdot (5 - 3) = 7 \cdot 2 = 14 \Leftrightarrow 7 \cdot (5 - 3) = 7 \cdot 5 - 7 \cdot 3 = 35 - 21 = 14$
allgemein: $\boxed{a \cdot (b - c) = a \cdot b - b \cdot c = a(b - c) = ab - bc}$

Bruchrechnung

auch hier gilt die Rechen-Reihenfolge: Klammern -> Potenzen -> Punktrechnung -> Strichrechnung

Strichrechnung mit Brüchen:
Addition: $\boxed{\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}}$ (Voraussetzung gleiche Nenner!)
Beispiel (Prüfe mit Taschenrechner!): $\dfrac{3}{7} + \dfrac{11}{6} = \dfrac{3 \cdot 6}{7 \cdot 6} + \dfrac{11 \cdot 7}{6 \cdot 7} = \dfrac{18}{42} + \dfrac{77}{42} = \dfrac{18 + 77}{42} = \dfrac{95}{42} = \dfrac{5 \cdot 19}{2 \cdot 21}$

Subtraktion: $\boxed{\dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a - b}{c}}$ (Voraussetzung gleiche Nenner!)

Punktrechnung mit Brüchen:
Multiplikation: $\boxed{\dfrac{a}{c} \cdot \dfrac{b}{d} = \dfrac{a \cdot b}{c \cdot d} = \dfrac{a b}{c d}}$ ((Zähler $\cdot$ Zähler) durch (Nenner $\cdot$ Nenner)!)

Division: $\boxed{\dfrac{a}{c} / \dfrac{b}{d} = \dfrac{\dfrac{a}{c}}{\dfrac{b}{d}} = \dfrac{a}{c} \cdot \dfrac{d}{b} = \dfrac{a \cdot d}{c \cdot b} = \dfrac{ad}{bc}}$ (mit Kehrbruch multiplizieren!)

Erweitern/Kürzen von Brüchen:
Erweitern:
Beispiel: $3 = \dfrac{3}{1} = \dfrac{3 \cdot 2}{1 \cdot 2} = \dfrac{6}{2} = 3$
$\boxed{\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot k}{b \cdot k} = \dfrac{u}{v}}$ : Zähler UND Nenner mit derselben Zahl
multiplizieren und damit den Wert des Bruches NICHT ändern!

Kürzen:
Beispiel: $3 = \dfrac{12}{4} = \dfrac{2 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 2} = \dfrac{1 \cdot 3}{1} = 3$
$\boxed{\dfrac{a}{b} = \dfrac{u \cdot k}{v \cdot k} = \dfrac{u}{v}}$ damit besitzen Zähler und Nenner einen
gemeinsamen Faktor, durch diesen Faktor werden Zähler UND Nenner
geteilt und damit gekürzt und damit der Wert des Bruches NICHT geändert!

---

WebSites    Module    Mathematik