Kapitel 1 : Terme und Formeln

1.0 Überblick

1.1 Terme mit mehreren Variablen

1.2 Ausmultiplizieren und Ausklammern

1.3 Binomische Formeln

1.4 Umstellen von Formeln und Gleichungen

1.5 Aussagen und Beweise

Quellen

Lambacher Schweizer: "Mathematik für Gymnasien Klasse 8" [ISBN: 978-3-12-734281-9]
Klett Verlag : Lambacher Schweizer Mathematik 8
GeoGebra : GeoGebra - Rechner Suite
Wikipedia : Distributivgesetz
Wikipedia : Assoziativgesetz

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1.0 Überblick

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Definitionen:

  •  Konstante (Constant)
  •  Einheit (Unit)
  •  Variable (Variable)
  •  Term (Term)
  •  Gleichung (Equation)
  •  Klammern (Brackets)

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Definition: Konstante (Constant)

  •   Konstante werden für ein bestimmtes Problem definiert
      und sind innerhalb dieses Problemvolumens unveränderbar.

Eine Konstante wird geschrieben:
  •   als Zahl ohne Einheit oder
  •   als Zahl mit Einheit oder
  •   als Buchstabe: dieser Buchstabe steht für die symbolhafte Abkürzung
      der definierten konstanten Zahl mit oder ohne Einheit(typisch als $C$) !

  •   Alle Zahlenbereiche sind für Konstante zulässig:
      $C\in \mathbb{N}$    oder    $C\in \mathbb{Z}$    oder    $C\in \mathbb{Q}$    oder    $C\in \mathbb{I}$    oder    $C\in \mathbb{R}$

Beispiele: Konstante Zahl

  •   Natürliche Zahl: $5\in \mathbb{N}$    $\Rightarrow C=5$
  •   Ganze Zahl: $-3\in \mathbb{Z}$    $\Rightarrow C=-3$
  •   Rationale Zahl: $1.234\in \mathbb{Q}$    $\Rightarrow C=1.234$
  •   Rationale Zahl: $-7.\overline{23}=-7.2323..\in \mathbb{Q}$    $\Rightarrow C=-7.\overline{23}$
  •   Rationale Zahl: ${\displaystyle \frac{3}{7}}\in \mathbb{Q}$    $\Rightarrow C={\displaystyle \frac{3}{7}}$
  •   Irrationale Zahl: $\pi \in \mathbb{I}$    $\pi =3.14159265359..\Rightarrow C=\pi$
  •   Irrationale Zahl: $\sqrt{2}\in \mathbb{Q}$    $\sqrt{2}=1.41421356237..\Rightarrow C=\sqrt{2}$

Beispiele: Konstante Zahl mit Einheit

  •   Erdbeschleunigung $g\in \mathbb{R}$    $g=9.81{\displaystyle \frac{m}{s^2}}$
      Wikipedia: Erdbeschleunigung
  •   Naturkonstante: Gravitationskonstante $G\in \mathbb{R}$    $G=6.67430\cdot {10}^{-11}{\displaystyle \frac{m^3}{kg\cdot s^2}}$
      Wikipedia: Gravitationskonstante

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Definition: Einheit (Unit)

Regeln:
WICHTIG! Eine Einheit wird als Faktor bei der Zahl (Messgrösse) geschrieben !!!
Messung einer Strecke: $\boxed{{\displaystyle S=3.01m\iff S=3.01\cdot m}}$   ("$m$" steht für Meter)
Messung einer Zeit: $\boxed{{\displaystyle T=1.98s\iff S=1.98\cdot s}}$   ("$s$" steht für Sekunden)

WICHTIG: Zur Minimierung der Schreibarbeit wird der Multiplikationspunkt "$\cdot$" weggelassen !!!

WICHTIG! Zahl mal Einheit unterliegt als Produkt den bisher bekannten Produkt-Rechenregeln !!!

WICHTIG! SONDERFALL! Behauptung: Auch Zahlen OHNE Einheit besitzen die Einheit "1" !!!
Bei der Zahl $3.2$ steht zwar keine Einheit, doch wir erweitern:
$3.2=3.2\cdot 1$
Wegen der "$1$" als neutralem Element der Multiplikation besitzt jede Zahl ohne Einheit die Einheit "$1$" !!!

Beispiel einer Messung zur Berechnung der Geschwindigkeit:
Eine (gemessene) Strecke $s$ beträgt: $\boxed{{\displaystyle s=3.01m}}$    ("$m$" steht für Meter)

Eine (gemessene) Zeit $t$ beträgt: $\boxed{{\displaystyle t=1.98s}}$    ("$s$" steht für Sekunde(n))

Die daraus sich ergebene Geschwindigkeit $v$ beträgt:
Geschwindigkeit $v$ gleich Weg $s$ durch Zeit $t$
$\boxed{{\displaystyle v:={\displaystyle \frac{s}{t}}}}$   $\iff$   $v={\displaystyle \frac{3.01m}{1.98s}}$   $\iff$   $v={\displaystyle \frac{3.01\cdot m}{1.98\cdot s}}$   $\iff$   $v={\displaystyle \frac{3.01}{1.98}}\cdot {\displaystyle \frac{m}{s}}$   $\iff$   $\boxed{{\displaystyle v=1.52{\displaystyle \frac{m}{s}}}}$

   ("$v$" : Latein: velocitas/velocitatis : Geschwindigkeit)
   ("${\displaystyle \frac{m}{s}}$" steht für Meter pro Sekunde)

Möglichkeit zur "Berechnung" der Einheit einer Variablen:
Der Operator $[]$ angewendet auf eine Variable oder eines mathemathischen Ausdrucks
liefert nur die physikalische Einheit desselben ohne Zahl.

Beispiel: $v=1.52{\displaystyle \frac{m}{s}}\to [v]={\displaystyle \frac{m}{s}}$

Beispiel: $v:={\displaystyle \frac{s}{t}}\to [v]=[{\displaystyle \frac{s}{t}}]={\displaystyle \frac{[s]}{[t]}}={\displaystyle \frac{m}{s}}$    da    $[s]=m$    und    $[t]=s$

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Definition: Variable (Variable)

Wikipedia: Variable (Mathematik) :
"Eine Variable ist ein Name für eine Leerstelle in einem logischen oder mathematischen Ausdruck."

Wikipedia: Variable (Programmierung) :
"In der Programmierung ist eine Variable ein abstrakter Behälter für einen Wert, der bei der Ausführung eines Computerprogramm auftritt."

Unsere Definition für eine Variable in der Mathematik, Physik und Informatik:
"Eine Variable ist ein Name für den Platzhalter einer Zahl in einem logischen oder mathematischen Ausdruck."
Jede Variable besitzt einen (eindeutigen) Namen.
Jede Variable besitzt eine (interne) Einheit:
  •  keine oder neutrale Einheit "$1$" (wird als Faktor weggelassen!)
  •  eine physikalische Einheit wie
       •  Sekunde "$s$" (Zeit)
       •  Meter "$m$" (Länge)
       •  Kilogramm "$kg$" (Masse)
       •  Ampere "$A$" (Stromstärke)
       •  Kelvin "$K$" (Temperatur)
       •  Mol "$mol$" (Stoffmenge, Chemie)
       •  Candela "$cd$" (Lichtstärke)
Die Berechnung der Einheit einer Variable erfolgt durch den Operator $[]$:
Beispiel: $s=3.01m\to [s]=m$
(Der Operator $[]$ liefert nur die physikalische Einheit einer Variablen ohne seine Zahl.)

Beispiele: Variablen in Gleichungen
  •  $\boxed{{\displaystyle x+3=5}}$
      Typische Bestimmungsgleichung für die Variable $x$ .

  •  $\boxed{{\displaystyle y=5-12}}$
      Typische Bestimmungsgleichung für die Variable $y$ .

  •  $\boxed{{\displaystyle x+y=12}}$
      Die beiden Variablen $x$ und $y$ sollen addiert $12$ ergeben.

  •  $\boxed{{\displaystyle a\cdot x+b\cdot y=c}}$
      Mit den bekannten Konstanten $a,b,c\in \mathbb{R}$ beschreiben die beiden Variablen $x$ und $y$ eine Gerade.

  •  $\boxed{{\displaystyle x^2+y^2=c^2}}$
      Die Summe der Quadrate $x^2$ und $y^2$ ergeben die bekannte Konstante $c\in \mathbb{R}$

  •  $\boxed{{\displaystyle x(t)=a\cdot \sin (t)+b\cdot \cos (t)}}$
      Die Weg-Zeit-Funktion $x(t)$ : $x$-Weg in Abhängigkeit der Zeit $t$ setzt sich zusammen aus dem
      Produkt $a\cdot \sin (t)$ einer Sinus-Zeit-Funktion und dem Produkt $b\cdot \cos (t)$ einer Cosinus-Zeit-Funktion.
      $a,b\in \mathbb{R}$ sind Konstante (bezüglich der Zeit).

Diese Gleichung lässt sich auch mit GeoGebra grafisch darstellen:

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Definition: Term (Term)

"Unter einem algebraischen Term verstehen wir eine endliche Reihung von Konstanten "$C,G,g,...$" und Variablen "$x,y,z,w^2,...$" und Operatoren "$+,-,\cdot ,/,...$" oder "$(,),[,],...$" ohne Gleichheitszeichen"

Terme mit einer Variablen
Beispiele: $2x+7$, ${\displaystyle \frac{3}{y}}$, $z^3+3z+2$

Terme mit mehreren Variablen
Beispiele: $2x+7y+21$, ${\displaystyle \frac{3x}{y^2}}$, $x^3+3y+2z$

Rechenregel: Zusammenfassung gleicher Variablen
Term: $2x+4x$

Berechnung von Termen
Wenn alle Konstanten und Variablen in einem Term durch Zahlen definiert und damit bekannt sind, kann dieser Term berechnet werden.
Beispiel: $2x+3y^2$ mit $x=2.5$ und $y=2.0$ $\Rightarrow 2\cdot 2.5+3\cdot 4=17$

Vereinfachung von Termen
Nur Terme gleicher Variablen mit gleichen Exponenten und beliebigen Vorfaktoren können zusammengefasst werden:
gemeinsamer Exponent $1$ : $2x+3x=x\cdot x+x\cdot x\cdot x=x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x=5x$
gemeinsamer Exponent $2$ : $2y^2+3y^2=y^2\cdot y^2+y^2\cdot y^2\cdot y^2=y^2\cdot y^2\cdot y^2\cdot y^2\cdot y^2=5y^2$
aber: kein gemeinsamer Exponent $2\ne 3$ : $x^2+x^3=x^2+x^3$
aber: ungleiche Variablennamen $x\ne y$: $3x+2y=3x+2y$

Beispiel: Vereinfache Term: $8x+5xy+7y-2xy+0.4y$
$8x+5xy+7y-2xy+0.4y=8x+5xy-2xy+7y+0.4y=8x+3xy+7.4y$

Beispiel: Fasse den Term $5x\cdot 2y\cdot x^2\cdot 4-(5y\cdot 4-2x^{3}y)$ so weit wie möglich zusammen:
$5x\cdot 2y\cdot x^2\cdot 4-(5y\cdot 4-2x^{3}y)=$
$=4\cdot 5\cdot 2\cdot x\cdot x^2\cdot y-(4\cdot 5y-2x^{3}y)=$
$=40x^{3}y+2x^{3}y-20y=42x^{3}y-20y$

Beispiel: Volumenberechnung eines Quaders:
Kantenlängen: $a=x$ und $b=4x$ und $c=5x$
Volumen: $V=a\cdot b\cdot c$
Einsetzen: $V=x\cdot 4x\cdot 5x\Rightarrow \boxed{{\displaystyle V=10x}}$

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Definition: Gleichung (Equation)

"Unter einer Gleichung verstehen wir die Reihung eines Terms, eines Gleichheitszeichens
und eines weiteren Terms. Auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens stehen gleiche Werte.
$\Rightarrow$ Damit ist der Wert von Term-Links gleich dem Wert von Term-Rechts!"

In Syntax-Notation schreiben wir: "$gleichung := ~~ = $"

Beispiel-Gleichung: $y=3x+2$
  •  "$y=3x+2$"    entspricht:    Gleichung mit Term "$y$", Gleichheitszeichen "$=$" und Term "$3x+2$"
  •  Wir wählen (willkürlich) $x=2\Rightarrow y=8$
      Damit erhalten wir die Werte-Gleichung: $8=3\cdot 2+2\iff 8=8$
      $\Rightarrow$ rechte Seite gleich linke Seite !

Äquivalenzumformung von Gleichungen
Oft sind Gleichungen:
  •  in unübersichtlicher Form gegeben -
      durch Äquivalenzumformungen kann eine übersichtliche Darstellung erreicht werden.
  •  nicht nach der unbekannten Variablen aufgelöst -
      durch Äquivalenzumformungen kann eine Auflösung nach der unbekannten Variablen erfolgen.

Beispiel-Gleichung: $\boxed{{\displaystyle y-3x=2}}$    (Auflösung nach $y$)
  •  Bringe die Gleichung in die Form einer Geradengleichung mit $y=mx+b$
      $y-3x=2|+3x$ [auf beiden Seiten $3x$ addieren]
      $y-3x+3x=2+3x|$ [vereinfachen, ordnen]
      $\boxed{{\displaystyle y=3x+2}}$ : entspricht der Geradengleichung $y=mx+b$

Beispiel-Gleichung: $\boxed{{\displaystyle 2y+3x-12=2x-y}}$    (Auflösung nach $y$)
  •  Bringe die Gleichung in die Form einer Geradengleichung mit $y=mx+b$
      $5y+3x-12-3y=2x-y|$ [vereinfachen, ordnen]
      $5y-3y+3x-12=2x-y|$ [vereinfachen, ordnen]
      $2y+3x-12=2x-y|-3x$    [auf beiden Seiten 3x abziehen]
      $2y+3x-3x-12=2x-3x-y|$ [vereinfachen, ordnen]
      $2y-12=-x-y|+y$   [auf beiden Seiten $y$ addieren]
      $2y+y-12=-x-y+y|+y$   [vereinfachen, ordnen]
      $3y-12=-x|+12$   [auf beiden Seiten $12$ addieren]
      $3y-12+12=-x+12|+12$   [vereinfachen]
      $3y=-x+12|\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}$   [auf beiden Seiten durch $3$ teilen]
      $3\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x+12\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}|$   [vereinfachen]

      $\boxed{{\displaystyle y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x+4}}$ : entspricht der Geradengleichung $y=mx+b$

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Definition: Klammern (Brackets)

"Klammern sind Operatoren zur Einhaltung des Vorrangs auszuführender Rechenoperationen."

Ausmultiplizieren
Beispiel: $5\cdot (2+3)=5\cdot 5=25$

Beispiel: $(7-2)\cdot (2+3)=5\cdot 5=25$

Wir merken uns: Immer erst versuchen, die Klammern in einer Gleichung zu vereinfachen!

Ausklammern
Ein Ausklammern wird zur Vereinfachung von Termen eingesetzt.

Beispiel: $ax+bx=x(a+b)$

Beispiel: $y^2+cy=y(y+c)$


Distributivgesetz
Aber: Wie vereinfache ich folgenden Term: ?
Beispiel: $a\cdot (b+c)$
$\boxed{{\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}}$ heisst Distributivgesetz
"Produkt von $a$ mal Summe von $b$ und $c$ ist gleich der Summe von Produkt $a\cdot b$ plus Produkt $a\cdot c$" .

Veranschaulichung:
$5\cdot (2+3)=5\cdot 5=25$    [direktes Ausrechnen]
$5\cdot (2+3)=5\cdot 2+5\cdot 3=10+15=25$    [Distributivgesetz]
Beide Rechenwege führen zum selben Ergebnis !

Bemerkung:
  •   Klammern haben eine höhere Priorität als die Regel "Punktrechnung geht vor Strichrechnung" !
  •   Das Distributivgesetz schreibt mit den beiden Klammern "$($" und "$)$"
      die Reihenfolge der Bearbeitung der beiden Operatoren "$+/-$" und "$\cdot$" vor !

Mehrere Klammern:
Beispiel: $2\cdot (5\cdot (2+3)+7)=2\cdot (5\cdot 5+7)=2\cdot (25+7)=2\cdot 32=64$
Wichtig:
  •   Es muss immer die Zahl der Auf-Klammern gleich der Zahl der Zu-Klammern sein !
  •   Die Klammern werden von innen nach aussen aufgelöst !
  •   Es gilt auch bei der sukzessiven Klammerauflösung die Regel: "Punktrechnung geht vor Strichrechnung" !

Assoziativgesetz
$\boxed{{\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot b\cdot c}}$ heisst Assoziativgesetz
Oder anders ausgedrückt: die Reihenfolge der Berechnung der Faktoren ist beliebig !

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