In der Physik beschreibt die Geschwindigkeit die Änderung des Ortes eines Objekts pro Zeiteinheit. Es handelt sich dabei um eine vektorielle Grösse, das heisst, sie besitzt sowohl einen Betrag (die Schnelligkeit) als auch eine Richtung.
In vielen Bereichen, wie Mechanik, Astronomie oder auch in der Quantenphysik, ist die Geschwindigkeit ein zentrales Konzept zur Analyse von Kräften(Ursachen) und Bewegungen(Wirkungen).
Die Geschwindigkeit v wird definiert als:
$\boxed{v = \dfrac{s}{t}}$
Hierbei ist:
Ein Auto fährt 120 Kilometer in 2 Stunden. Die Geschwindigkeit ist:
$\boxed{v = \dfrac{120\,\text{km}}{2\,\text{h}} = 60\,\text{km/h}}$
Das bedeutet, das sich das Auto gleichmässig mit 60 Kilometern pro Stunde bewegt.
Ein Zug bewegt sich mit 80 m/s nach Osten. Die Geschwindigkeit beträgt 80 m/s, aber um die Bewegung vollständig zu beschreiben, muss auch die Richtung genannt werden: 80 m/s nach Osten.
Bei nicht gleichmässiger Bewegung (z. B. beim Auto im Stadtverkehr) ändert sich die Geschwindigkeit ständig. Die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt nennt man Momentangeschwindigkeit. Diese wird mit der Ableitung des Weges nach der Zeit beschrieben:
$\boxed{v(t) = \dfrac{ds}{dt}}$
Die Geschwindigkeit ist eine fundamentale Grösse zur Beschreibung von Bewegungen. Sie erlaubt Aussagen über:
Die gleichförmige Bewegung ist die einfachste Form der Bewegung und ein wichtiges Modell in der klassischen Mechanik. Sie dient als Grundlage für das Verständnis komplexerer Bewegungsformen wie beschleunigte oder rotierende Bewegungen.
Eine konstante Geschwindigkeit liegt vor, wenn ein Objekt in jedem beliebigen Zeitintervall denselben Weg zurücklegt, ohne dass sich der Betrag oder die Richtung der Geschwindigkeit ändert. Es gilt:
$\boxed{v = \dfrac{s}{t} = \text{konstant}}$
Hierbei ist:
Eine gleichförmige Bewegung ist eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit in gleichbleibender Richtung. Das bedeutet, dass sich der Körper weder beschleunigt noch abbremst noch die Richtung ändert.
Allgemein gilt für die gleichförmigen Bewegung
$\boxed{a = 0}$ : Beschleunigung identisch Null
Die Geschwindigkeit berechnet sich mit:
$\displaystyle\int\limits_{v_0}^{v}dv = \displaystyle\int\limits_{t_0}^{t} a(t) dt = \displaystyle\int\limits_{t_0}^{t} 0 dt = 0$ $~~\Rightarrow~ \big\vert v \big\vert_{v_0}^v = 0$ $~~\Leftrightarrow~ v - v_0 = 0$ $~~\Leftrightarrow~ \boxed{v = v_0}$
Damit verhält sich die (konstante) Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ identisch mit der Geschwindigkeit für alle Zeiten $v$ !
und der Ort mit:
$s(t) = \displaystyle\int\limits_{t_0}^{t} v(t) \cdot dt = \displaystyle\int\limits_{t_0}^{t} v_0 \cdot dt = v_0 \displaystyle\int\limits_{t_0}^{t} dt = v_0 \cdot \big\vert t \big\vert_{t_0}^t = v_0 \cdot (t - t_0) = v_0 \cdot t + s_0$
Damit lautet die Weg-Zeit-Beziehung bei gleichförmiger Bewegung:
$\boxed{s(t) = v_0 \cdot t + s_0}$Ein Zug fährt mit 100 km/h auf einer geraden Strecke. In 2 Stunden legt er zurück:
$s = 100\,\text{km/h} \cdot 2\,\text{h} = 200\,\text{km}$
Da Geschwindigkeit und Richtung konstant bleiben, handelt es sich um eine gleichförmige Bewegung.
Eine Person geht mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1.5 m/s entlang eines geraden Weges. Nach 10 Minuten (600 s) hat sie zurückgelegt:
$s = 1.5\,\text{m/s} \cdot 600\,\text{s} = 900\,\text{m}$
Die Bewegung ist gleichförmig, da sich Geschwindigkeit und Richtung nicht ändern.
Eine Sonde bewegt sich im luftleeren und massefreien Raum mit konstanter Geschwindigkeit von 10000 m/s. Da im Vakuum keine Reibung wirkt, bleibt die Geschwindigkeit konstant, solange keine Kraft eingreift. Auch das ist eine gleichförmige Bewegung.
Eine ungleichförmige Bewegung beschreibt realistische Bewegungen im Alltag, bei denen Geschwindigkeit und Richtung durch Beschleunigung variieren.
Eine variable Geschwindigkeit liegt vor, wenn sich der Betrag oder die Richtung der Geschwindigkeit mit der Zeit ändert. Das bedeutet, dass das Objekt entweder schneller oder langsamer wird oder seine Bewegungsrichtung ändert.
In diesem Fall ist die Beschleunigung ungleich Null:
$\boxed{a = \dfrac{dv}{dt} \neq 0}$Eine ungleichförmige Bewegung ist dadurch gekennzeichnet, dass die Geschwindigkeit des Objekts nicht konstant ist. Sie kann sich ändern:
Allgemein variiert bei der ungleichförmigen Bewegung die Beschleunigung mit der Zeit:
$\boxed{a = a(t)}$
Die Geschwindigkeit berechnet sich mit:
$\boxed{v(t) = \displaystyle\int\limits_{t_0}^{t} a(t) \cdot dt}$
und der Ort mit:
$\boxed{s(t) = \displaystyle\int\limits_{t_0}^{t} v(t) \cdot dt}$
Spezialfall: konstante Beschleunigung
$\boxed{a = a(t) = a_0 = constant}$
Die Geschwindigkeit berechnet sich mit:
$v(t) = \displaystyle\int\limits_{t_0}^{t} a_0 \cdot dt = a_0 \displaystyle\int\limits_{t_0}^{t} dt = a_0 \cdot (t - t_0) = a_0 \cdot t - a_0 \cdot t_0 = a_0 \cdot t - v_0$
$\boxed{v(t) = a_0 \cdot t - v_0}$
Die Geschwindigkeit wächst bei konstanter Beschleunigung linear mit der Zeit!
und der Ort mit:
$s(t) = \displaystyle\int\limits_{t_0}^{t} v(t) \cdot dt = \displaystyle\int\limits_{t_0}^{t} (a_0 \cdot t - v_0) \cdot dt = a_0 \cdot \displaystyle\int\limits_{t_0}^{t} t \cdot dt - v_0 \cdot \displaystyle\int\limits_{t_0}^{t} dt$
$s(t) = a_0 \cdot (\dfrac{t^2}{2} - \dfrac{t_0^2}{2}) - v_0 \cdot (t - t_0)$
$\boxed{s(t) = \dfrac{a_0}{2} t^2 + v_0 \cdot t + s_0}$
Der Ort wächst bei konstanter Beschleunigung quadratisch mit der Zeit!
Ein Auto startet aus dem Stand und erreicht in 5 s eine Geschwindigkeit von 25 m/s:
$\boxed{a = \dfrac{25 - 0}{5}\,\text{m/s}^2 = 5\,\text{m/s}^2}$
Die Geschwindigkeit ändert sich mit der Zeit, daher liegt eine ungleichförmige Bewegung vor.
Ein Fahrradfahrer fährt mit 12 m/s und bremst in 4 s bis zum Stillstand:
$\boxed{a = \dfrac{0 - 12}{4} \,\text{m/s}^2= -3\,\text{m/s}^2}$
Die negative Beschleunigung (Verzögerung) zeigt, dass es sich um eine ungleichförmige Bewegung handelt.
$a(t) = a_0 = g = 9.81 m/s^2$ : konstante Erdbeschleunigung
$s_0 = h_0$ : Anfangshöhe $v_0 = 0$ : AnfangsgeschwindigkeitGeschwindigkeit nach Zeit $t$ : $\boxed{v(t) = a_0 \cdot t - v_0 = - g \cdot t }$
Fallhöhe nach Zeit $t$ : $s(t) = a_0 \cdot (\dfrac{t^2}{2} - \dfrac{t_0^2}{2}) - v_0 \cdot (t - t_0) = h - \dfrac{g}{2} t^2$
$\boxed{h(t)= h_0 - \dfrac{g}{2} t^2 }$
Ein Objekt bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einem Kreis. Obwohl der Betrag der Geschwindigkeit konstant ist, ändert sich laufend die Richtung. Dies bedeutet:
Auch dies ist eine ungleichförmige Bewegung.