Strecken und Längen sind fundamentale physikalische Grössen, die zur Beschreibung von Räumen und Bewegungen verwendet werden. In allen Dimensionen beschreiben sie den Abstand zwischen zwei Punkten. Die Länge ist dabei eine skalare Grösse, die niemals negativ ist.
Strecken und Längen sind grundlegende geometrische und physikalische Konzepte, die in der Beschreibung von Bewegungen, Feldern, Energien und sogar fundamentalen Raumstrukturen verwendet werden. Ihre Bedeutung steigt mit der Komplexität der Dimension - von einfachen Messungen in einer Dimension bis hin zu gekrümmten Raumzeiten in der Allgemeinen Relativitätstheorie.
In einer Dimension (z. B. entlang einer Zahlengeraden oder Achse) ist die Länge einer Strecke einfach die Differenz zweier Koordinaten:
$s = |x_2 - x_1|$
Beispiel: Ein Objekt bewegt sich von \( x_1 = 2.0\,\text{m} \) nach \( x_2 = 7.5\,\text{m} \):
$ s = |7.5 - 2.0| = 5.5\,\text{m} $In zwei Dimensionen (Ebene) wird die Länge einer Strecke mithilfe des Satzes von Pythagoras bestimmt:
$s = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
Beispiel: Punkt A bei (2.0 m, 3.0 m), Punkt B bei (6.0 m, 7.0 m): $ s = \sqrt{(6.0 - 2.0)^2 + (7.0 - 3.0)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} \approx 5.66\,\text{m}$
In drei Dimensionen (Raum) erweitert sich die Streckenformel zu:
$s = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$
Beispiel: Punkt A: (1.0 m, 2.0 m, 3.0 m), Punkt B: (4.0 m, 6.0 m, 7.0 m) $ s = \sqrt{(4.0 - 1.0)^2 + (6.0 - 2.0)^2 + (7.0 - 3.0)^2} = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41} \approx 6.40\,\text{m} $
Bei gekrümmten Pfaden wird die Strecke nicht über einfache Koordinatendifferenzen, sondern durch Integration berechnet:
$ s = \displaystyle\int\limits_{a}^{b} \sqrt{ \left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\dfrac{dz}{dt}\right)^2 } \, dt $
Dies beschreibt z. B. den exakten Weg eines Teilchens entlang einer Raumkurve.