Integrale sind fundamentale Konzepte der Analysis zur Summation kontinuierlicher Grössen und sind für Theorie und Praxis der Mathematik unverzichtbar.
Ein Integral ist ein mathematisches Werkzeug zur Berechnung von Flächen, Volumina, Summen kontinuierlicher Grössen und zur Rückgewinnung von Funktionen aus deren Ableitungen. Es gibt zwei Haupttypen:
Das Integral ist das Gegenstück zur Ableitung (Fundamentalsatz der Analysis).
Im eindimensionalen Fall beschreibt das bestimmte Integral die Fläche unter einer Kurve:
$A_{curve} = \displaystyle\int_a^b f(x) \, dx$
Bedeutung: In Physik und Technik stellt es z.B. Arbeit (Kraft mal Weg), Strecke aus Geschwindigkeit, Fläche unter Kurven oder Gesamtverbrauch dar. Es integriert eine Grösse über ein Intervall.
Im zweidimensionalen Raum beschreibt ein Doppelintegral die Fläche unter einer Funktion $f(x, y)$
über einem Bereich $D$:
$A_{area} = \displaystyle\iint_D f(x, y) \, dx \, dy$
Geometrisch: Berechnet das Volumen unter einer Fläche über einer ebenen Region
Bedeutung: Das Doppelintegral dient zur Berechnung von:
Wird oft in der Thermodynamik, Statistik, Ökonomie und Strömungslehre verwendet.
In drei Dimensionen beschreibt das Dreifachintegral die Integration einer Funktion $f(x, y, z)$ über ein Raumgebiet $V$:
$V_{space} = \displaystyle\iiint_V f(x, y, z) \, dx \, dy \, dz$
Bedeutung: Es berechnet:
Wird in Elektrodynamik, Fluidmechanik, Astrophysik, Finite-Elemente-Analyse u.v.m. eingesetzt.