KVHS Northeim 2025 : Astronomie - eine Reise durch Raum und Zeit

Krümmung (2. Ableitung)

Die Krümmung ist ein wesentliches Konzept zur Beschreibung von Form, Verhalten und Geometrie von Funktionen in Mathematik, Naturwissenschaften und Technik.

1D: Zweite Ableitung $f''(x)$, misst Richtung und Stärke der Krümmung einer Kurve
2D: Liefert Informationen über konvexe/konkave Bereiche und Wendepunkte einer Funktion
3D: Beschreibt Flächenkrümmung mittels Hesse-Matrix, Haupt- und Gaussscher Krümmung

Allgemeine Definition

Die Krümmung beschreibt die Änderung der Steigung einer Funktion, also wie stark und in welche Richtung sich eine Kurve biegt. Mathematisch wird dies durch die zweite Ableitung $f''(x)$ ausgedrückt:

$\boxed{f''(x) = \dfrac{d^2 f(x)}{dx^2}}$

Die zweite Ableitung misst die Krümmung bzw. Konvexität einer Funktion:

$f''(x) > 0$ $\rightarrow$ Funktion ist konvex (nach oben gekrümmt)
$f''(x) < 0$ $\rightarrow$ Funktion ist konkav (nach unten gekrümmt)
$f''(x) = 0$ $\rightarrow$ möglicher Wendepunkt

1D - Krümmung auf der Zahlengeraden

In einer Dimension ist die Krümmung direkt durch die zweite Ableitung gegeben:

$\boxed{f''(x)}$

Bedeutung: Sie zeigt an, ob eine Funktion ihre Steigung erhöht oder verringert. Z. B. bei $f(x) = x^2$ ist $f''(x) = 2$: Die Funktion ist überall gleichmässig gekrümmt nach oben.

2D - Krümmung im Koordinatensystem

In zwei Dimensionen (Ebene) beschreibt die Krümmung das Biegeverhalten des Graphen einer Funktion. Die zweite Ableitung liefert Informationen über:

Krümmungsrichtung (konvex/konkav)
Wendepunkte: Stellen, an denen die Krümmung ihr Vorzeichen ändert

Geometrisch: Die Krümmung kann auch als Radius des oskulierenden Kreises interpretiert werden. Bei kleinerem Radius ist die Krümmung stärker.

Beispiel: $f(x) = x^3$ hat $f''(x) = 6x$. An $x = 0$ ist ein Wendepunkt, da die Krümmung das Vorzeichen wechselt.

Bedeutung: Krümmungsverhalten ist wichtig in der Fahrbahnplanung, Statistik (Regressionskurven), Physik (Bewegungsänderungen) und Technik (Stabilitätsanalysen).

3D - Krümmung im Raum

In drei Dimensionen wird die Krümmung komplexer und kann sich in mehreren Richtungen ändern. Sie wird z.B. mit Hilfe folgender Begriffe beschrieben:

Hesse-Matrix: Matrix aller zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion $f(x, y)$:

$H_f~(x, y) = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix}$

Hauptkrümmungen: Maximale und minimale Krümmung in orthogonalen Richtungen auf einer Fläche
Gausssche Krümmung: Produkt der beiden Hauptkrümmungen

Bedeutung: In der Differentialgeometrie, CAD-Modellierung, Oberflächenanalyse, Elastizitätstheorie und Optimierung ist die Kenntnis der Krümmung entscheidend für korrekte Berechnungen und Darstellungen.