Die Steigung als 1. Ableitung ist ein zentrales Werkzeug zur Analyse und Interpretation von Funktionen und Prozessen in Mathematik, Naturwissenschaften und Technik.
Die Steigung einer Funktion ist ein Mass für die Änderung ihres Funktionswertes in Abhängigkeit von der Änderung der Eingangsgrösse. Mathematisch entspricht sie der 1. Ableitung einer Funktion $f(x)$:
$\boxed{f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}}$
Diese beschreibt die momentane Änderungsrate oder Tangentensteigung an einem Punkt.
In einer Dimension ist die Steigung die Ableitung einer Funktion $f(x)$ an der Stelle $x$:
$f'(x)$
Bedeutung: Die Steigung gibt an, ob eine Funktion an einer Stelle steigt ($f'(x) > 0$), fällt ($f'(x) < 0$) oder ein Extremum erreicht ($f'(x) = 0$).
Beispiel: Bei $f(x) = x^2$ ist $f'(x) = 2x$. Bei $x = 1$ ist die Steigung 2.
In der zweidimensionalen Darstellung ist die Steigung geometrisch die Neigung der Tangente an den Funktionsgraphen. Die 1. Ableitung liefert also die Richtung, in der sich die Kurve an einer bestimmten Stelle bewegt.
Interpretation:
Bedeutung: Die Steigung wird z.B. in der Physik zur Beschreibung von Geschwindigkeit verwendet (Weg-Zeit-Diagramm), in der Ökonomie für Grenzkosten oder Grenzerlöse.
Bei Funktionen mit mehreren Variablen, z.B. $f(x, y)$, ist die Steigung nicht nur eine Zahl, sondern wird durch den Gradienten dargestellt:
$\boxed{\nabla f(x, y) = \left( \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)}$
Der Gradient zeigt die Richtung des steilsten Anstiegs der Funktion und dessen Betrag ist die maximale Steigung.
Beispiel: Bei $f(x, y) = x^2 + y^2$ ergibt sich:
$\nabla f = (2x, 2y)$
Bedeutung: In 3D beschreibt der Gradient z.B. Temperatur- oder Druckänderungen, Oberflächenausrichtungen in der Geometrie oder Richtungen für Optimierungsverfahren.