KVHS Northeim 2025 : Astronomie - eine Reise durch Raum und Zeit

Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen erweitern die linearen Modelle um wichtige dynamische, gekrümmte Strukturen und sind daher elementar für die mathematische Modellierung realer Prozesse.

1D: Ausdruck mit $x^2$, Grundlage für nichtlineare Effekte
2D: Parabel als Graph, zentrale Bedeutung in Bewegung, Wirtschaft, Physik
3D: Quadratische Flächenformen wie Paraboloide und andere Quadriken, genutzt in Natur- und Ingenieurwissenschaften

Allgemeine Definition

Eine quadratische Funktion ist eine Funktion, in der die Variable in der höchsten Potenz zum Quadrat auftritt. Die allgemeine Form lautet:

$\boxed{f(x) = ax^2 + bx + c}$, wobei $a \ne 0$

Quadratische Funktionen sind typische Beispiele für nichtlineare Zusammenhänge. Ihr Graph ist eine Parabel.

1D - Quadratische Funktion als Ausdruck

In einer eindimensionalen Betrachtung steht die Funktion selbst als Ausdruck im Vordergrund, ohne graphische Darstellung. Zum Beispiel:

$f(x) = 4x^2 - 3x + 2$

Bedeutung: Quadratische Terme beschreiben beschleunigte Bewegungen, Energieformen (z.B. potenzielle Energie $E = mgh$) oder Optimierungsprobleme (Minimum/Maximum).

2D - Quadratische Funktion in der Ebene

In der zweidimensionalen Darstellung zeigt der Graph einer quadratischen Funktion eine Parabel im Koordinatensystem:

Nach oben geöffnet bei $a > 0$, nach unten bei $a < 0$
Die Scheitelpunktform: $\boxed{f(x) = a(x - x_s)^2 + y_s}$

Graph: Punktmenge $(x, f(x))$ ergibt eine Parabel

Eigenschaften:

Symmetrie zur Achse durch den Scheitelpunkt
Ein Extrempunkt: Minimum oder Maximum

Bedeutung: Quadratische Funktionen modellieren z.B. Wurfparabeln, Gewinnfunktionen, Materialbeanspruchung oder Flächenberechnungen.

3D - Quadratische Funktionen im Raum

In drei Dimensionen entstehen aus quadratischen Termen sogenannte Quadriken - Flächen, die durch Gleichungen mit quadratischen Ausdrücken in zwei Variablen entstehen:

Beispiele:

Paraboloid: $\boxed{f(x, y) = ax^2 + by^2 + c}$
Hyperbolisches Paraboloid: $\boxed{f(x, y) = ax^2 - by^2}$

Graph: Eine gekrümmte Fläche im $\mathbb{R}^3$, mit charakteristischen geometrischen Formen

Bedeutung: In der Technik und Architektur (z.B. bei Dachkonstruktionen, Reflektoren oder Antennen) und in der Physik (z.B. bei Potentialfeldern) spielen diese Flächen eine wichtige Rolle. In der linearen Optimierung bilden sie Randbedingungen für zulässige Bereiche.