Lineare Funktionen sind elementare Werkzeuge zur Beschreibung, Analyse und Lösung realer und theoretischer Probleme in vielen Bereichen der Mathematik und Naturwissenschaften.
Eine lineare Funktion ist eine Funktion, bei der zwischen Eingabewert und Ausgabewert ein linearer Zusammenhang besteht. Ihre allgemeine Form in einer Variablen ist:
$\boxed{f(x) = mx + b}$
Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der y-Achsenabschnitt. Der Graph einer linearen Funktion ist stets eine Gerade.
In einer eindimensionalen Darstellung betrachtet man meist nur den Funktionswert als Zahl. Die lineare Funktion beschreibt eine proportionale oder affine Beziehung:
$\boxed{f(x) = mx + b}$
Bedeutung: Solche Funktionen beschreiben einfache Beziehungen z.B. zwischen Zeit und Strecke bei gleichförmiger Bewegung. In der Praxis sind sie Grundlage für viele Berechnungen in Physik und Wirtschaft.
Hier wird die Funktion als Graph in einem Koordinatensystem dargestellt. Die Gerade hat eine konstante Steigung und schneidet die y-Achse bei $b$:
Darstellung: $\boxed{f(x) = mx + b}$
Die Steigung $m$ gibt an, wie stark die Gerade ansteigt oder fällt. Ist $m = 0$, ist die Funktion konstant.
Graph: Eine Gerade im $\mathbb{R}^2$, bestehend aus Punkten $(x, f(x))$.
Bedeutung: Lineare Funktionen beschreiben viele reale Zusammenhänge, etwa Preis-Mengen-Beziehungen, lineare Kostenfunktionen oder Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit.
In drei Dimensionen können lineare Funktionen zwei Formen annehmen:
Ebenenfunktion: Der Graph ist eine Ebene in $\mathbb{R}^3$, z.B. $f(x, y) = 2x - y + 5$
Raumkurve: Die Funktion beschreibt eine Gerade im Raum durch den Punkt $\vec{r}_0$ mit Richtungsvektor $\vec{v}$
Bedeutung: In Technik, Architektur und Physik werden lineare Funktionen in 3D genutzt, um Geraden, Ebenen, Schnittkonstruktionen oder Bewegungen im Raum zu modellieren.