Funktionen sind zentrale Bausteine der Mathematik und bilden die Basis für Modellierung, Analyse und Interpretation von Zusammenhängen in Natur und Technik.
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung, die jedem Element $x$ aus einer Definitionsmenge genau ein Element $y$ aus einer Zielmenge zuordnet. Formal:
$f: x \mapsto f(x)$ oder $f: D \rightarrow W$, wobei $D$ die Definitionsmenge und $W$ die Wertemenge ist.
In einer Dimension ist die Funktion eine Abbildung einer reellen Zahl auf eine andere reelle Zahl:
$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto f(x)$
Beispiel: $f(x) = 2x + 3$
Bedeutung: In 1D beschreibt eine Funktion die Beziehung zwischen zwei skalaren Grössen. Dies ist Grundlage der Schulmathematik (z.B. lineare oder quadratische Funktionen).
Eine Funktion kann auch graphisch als Kurve in der Ebene dargestellt werden, wobei jedem Wert $x$ ein Funktionswert $f(x)$ als $y$-Koordinate zugeordnet wird.
Der Graph ist die Menge aller Punkte $(x, f(x))$ in der Ebene:
$G_f = \{(x, f(x)) \in \mathbb{R}^2\}$
Beispiel: Der Graph von $f(x) = \sin(x)$ ist eine periodische Wellenlinie.
Bedeutung: In 2D visualisieren Funktionen Zusammenhänge zwischen Variablen, die in Diagrammen, Modellen oder Simulationen verwendet werden (z.B. in der Physik oder Wirtschaft).
In drei Dimensionen gibt es zwei verbreitete Typen von Funktionen:
Bedeutung: Funktionen in 3D sind entscheidend in der Physik (z.B. Temperaturfelder), Technik (z.B. Oberflächenmodellierung in CAD) und Informatik (z.B. 3D-Grafik, Animation).