Algebra: Quadratische Gleichung

Quellen

Wikipedia(de) : Quadratische Gleichung
Wikipedia(en) : Quadratic Equation

Übersicht

Eine "Allgemeine Quadratische Gleichung" schreibt sich in der Form:

Allgemeine Quadratische Gleichung: $\boxed{a x^2 + bx + c = 0}$ (1) (AQG)

Mit: $a, b, c, x \in \mathbb{R}$ und $a \ne 0$ besitzt die (AQG) die Lösungen:

$\boxed{x_{1} = -\dfrac{b + \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2a}}$ (2)      $\boxed{x_{2} = -\dfrac{b - \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2a}}$ (3)

Die (AQG) lässt sich immer in die "Normierte Quadratische Gleichung" überführen:

Normierte Quadratische Gleichung ("PQ-Formel"): $\boxed{x^2 + px + q = 0}$ (4)    (NQG)

mit: $p, q, x \in \mathbb{R}$ besitzt die (NQG) die Lösungen:

$\boxed{x_{1} = -\dfrac{p}{2} + \sqrt{\dfrac{p^2}{4} - q}}$ (5)      $\boxed{x_{1} = -\dfrac{p}{2} - \sqrt{\dfrac{p^2}{4} - q}}$ (6)

Grafisch veranschaulicht werden:

  • bei der Allgemeinen Quadratischen Gleichung (AQG) die Nullstellen der Parabel (mit der $x$-Achse) gesucht:

      $y(x) = a x^2 + bx + c = 0$

  • bei der Normierten Quadratischen Gleichung (NQG) die Nullstellen der Normal-Parabel (mit der $x$-Achse) gesucht:

      $y(x) = x^2 + px + q = 0$

Herleitung

(AQG): Gleichung (1): $a x^2 + bx + c = 0$

$x^2 + \dfrac{b}{a}x = - \dfrac{c}{a}$

$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{b^2}{4a^2} = + \dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{c}{a}$

$\bigg[x + \dfrac{b}{2a} \bigg]^2 = + \dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{c}{a}$

$x_{12} + \dfrac{b}{2a} = \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{c}{a}}$

$x_{12} = -\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{c}{a}}$

$x_{12} = -\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{4ac}{4a^2}}$

$x_{12} = -\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}}$

$x_{12} = -\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$\boxed{x_{1} = -\dfrac{b + \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2a}}$ (2*)

$\boxed{x_{2} = -\dfrac{b - \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2a}}$ (3*)

(NQG): Gleichung (4): $x^2 + px + q = 0$

$x^2 + px = -q$

$x^2 + px + \dfrac{p^2}{4} = + \dfrac{p^2}{4} -q $

$\bigg[x + \dfrac{p}{2} \bigg]^2 = \dfrac{p^2}{4} -q $

$x_{12} + \dfrac{p}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{p^2}{4} -q}$

$x_{12} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\dfrac{p^2}{4} -q}$

$\boxed{x_{1} = - \dfrac{p}{2} + \sqrt{\dfrac{p^2}{4} -q}}$ (5*)

$\boxed{x_{2} = - \dfrac{p}{2} - \sqrt{\dfrac{p^2}{4} -q}}$ (6*)

Python-Programm: Quadratische Gleichung

Im Folgenden findet sich der Python-Code für die Lösung der Quadratischen Gleichung:

#
#--------------------------------------------------------------------
#   Include
#--------------------------------------------------------------------
import math as MT
#
#--------------------------------------------------------------------
#   Solver
#--------------------------------------------------------------------
def SolverGeneralQuadraticEquation(a, b, c):
    D = b * b - 4 * a * c
    X1 = 0.0
    X2 = 0.0
    if (D < 0):
       return 0, X1, X2
    if (0 == D):
       X1 = -b / 2 / a
       X1 = X2
       return 1, X1, X2
    # 0 < D
    X1 = -(b + MT.sqrt(D)) / 2 / a
    X2 = -(b - MT.sqrt(D)) / 2 / a
    return 2, X1, X2
#
def SolverNormalizedQuadraticEquation(p, q):
    D = 0.25 * p * p - q
    X1 = 0.0
    X2 = 0.0
    if (D < 0):
       return 0, X1, X2
    if (0 == D):
       X1 = -p / 2
       X1 = X2
       return 1, X1, X2
    # 0 < D
    X1 = -p / 2 + MT.sqrt(D)
    X2 = -p / 2 - MT.sqrt(D)
    return 2, X1, X2
#
#--------------------------------------------------------------------
#   Main
#--------------------------------------------------------------------
if ('__main__' == __name__):
    print('*** QuadraticEquation: begin')   
    #
    a = +3
    b = -15
    c = +18
    Ns, x1, x2 = SolverGeneralQuadraticEquation(a, b, c)
    print('GQE(a[%.3f], b[%.3f], c[%.3f]): Ns[%d] x1[%.3f] x2[%.3f]' % \
          (a, b, c, Ns, x1, x2))
    #
    p = -5
    q = +6
    Ns, x1, x2 = SolverNormalizedQuadraticEquation(p, q)
    print('NQE(p[%.3f], q[%.3f]): Ns[%d] x1[%.3f] x2[%.3f]' % \
          (p, q, Ns, x1, x2))
    #
    print('*** QuadraticEquation: end')
    #
#

Download des Python-Programms: 2206271336_QuadraticEquation_01V01.zip

Ausgabe des Python-Programms "QuadraticEquation":

runfile('.../QuadraticEquation.py',
wdir='.../QuadraticEquation',
current_namespace=True)


*** QuadraticEquation: begin
GQE(a[3.000], b[-15.000], c[18.000]): Ns[2] x1[2.000] x2[3.000]
NQE(p[-5.000], q[6.000]): Ns[2] x1[3.000] x2[2.000]
*** QuadraticEquation: end

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