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Gewöhnliche Inhomogene Differentialgleichung Erster Ordnung

Übersicht

Die Lösung der Inhomogenen Differentialgleichung Erster Ordnung:

$\boxed{x^\prime(t) + f(t) x(t) = g(t)}$ (1)

mit den beiden bekannten zeitabhängigen Funktionen $f(t)$ und $g(t)$

setzt sich zusammen aus der Lösung der Homogenen Differentialgleichung:

$\boxed{x_h^\prime(t) + f(t) x(t) = 0}$ (2)

mit $\boxed{x_h(t) = C_h {\exp} \big[-\int\limits_t f(t) dt\big]}$ (4) mit $0 < C_h$

und der Lösung der Inhomogenen Differentialgleichung mit

$\boxed{x(t) = \big[C_i + \int\limits_t \dfrac{g(t)}{x_h(t)}dt \big] x_h(t)}$ (7)

Gegeben

  •  Inhomogene Differentialgleichung Erster Ordnung:

$\boxed{x^\prime(t) + f(t) x(t) = g(t)}$ (1)

  •  zeitabhängige Funktionen $f(t)$ und $g(t)$

Gesucht

  •  Lösung $x_h(t)$ der Homogenen Differentialgleichung

$\boxed{x^\prime_h(t) + f(t) x_h(t) = 0}$ (2)

  •  Lösung $x(t)$ der Inhomogenen Differentialgleichung

$\boxed{x^\prime(t) + f(t) x(t) = g(t)}$ (3)

Quellen

Universaldenker: Variation der Konstanten

Wikipedia: Variation der Parameter

Herleitung

Lösung der Homogenen Differentialgleichung

(2) : $x^\prime(t) + f(t) x(t) = 0$

$x^\prime(t) = -f(t) x(t)$

$\dfrac{dx(t)}{x(t)} = -f(t) dt$

$\int\limits_x\dfrac{dx}{x} = -\int\limits_t f(t) dt$

$\ln \vert x(t) \vert = C_{h0} - \int\limits_t f(t) dt$

$\boxed{x_h(t) = C_h {\exp} \big[-\int\limits_t f(t) dt\big]}$ (4) mit $0 < C_h$

Lösung der Inhomogenen Differentialgleichung

durch Variation der Konstanten $C_h = C_h(t)$ :

$\boxed{x(t) := C_h(t) x_h(t)}$ (5)

eingesetzt in (1) :

$x^\prime(t) + f(t) x(t) = g(t)$

$x^\prime(t) + f(t) C_h(t) x_h(t) = g(t)$

Erste Ableitung von (5) :

$x^\prime(t) = C_h^\prime(t) x_h(t) + C_h(t) x^\prime_h(t)$

$C_h^\prime(t) x_h(t) + C_h(t) x^\prime_h(t) + f(t) C_h(t) x_h(t) = g(t)$

$C_h^\prime(t) x_h(t) + C_h(t)\big[ x^\prime_h(t) + f(t) x_h(t) \big] = g(t)$

Klammer nach (2) identisch Null:

(2) : $x^\prime_h(t) + f(t) x_h(t) = 0$

$\Rightarrow C_h^\prime(t) x_h(t) = g(t)$

$\dfrac{dC_h(t)}{dt} = \dfrac{g(t)}{x_h(t)}$

$\int\limits dC_h = \int\limits_t \dfrac{g(t)}{x_h(t)}dt$

Die Variations"konstante" $C_h(t)$ ergibt sich damit zu :

$\boxed{C_h(t) = C_i + \int\limits_t \dfrac{g(t)}{x_h(t)}dt}$ (6)

$C_i$ : Integrationskonstante

Damit folgt für die allgemeine Lösung der Inhomogenen Differentialgleichung aus (5):

(5) : $x(t) = C_h(t) x_h(t)$

$\boxed{x(t) = \big[C_i + \int\limits_t \dfrac{g(t)}{x_h(t)}dt \big] x_h(t)}$ (7)

mit der Lösung der Homogenen Differentialgleichung $x_h(t)$:

$\boxed{x_h(t) = C_h {\exp} \big[-\int\limits_t f(t) dt\big]}$ (4) und $0 < C_h$

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