Algebra - Cramersche Regel

Quellen

Gegeben & Gesucht

Gesucht: die unbekannten $N \in \mathbb{N_2}$ Variablen:
$x_i \in \mathbb{R}$ (mit Laufindex $i \in [1,1,N]$)
des linearen Gleichungssystems (1)

Gegeben: die bekannten Koeffizienten:
$b_{i} \in \mathbb{R}$ (mit Laufindex $i \in [1,1,N]$ und
$a_{ij} \in \mathbb{R}$ (mit Laufindex $i,j \in [1,1,N]$:

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & .. & a_{1N} \\ a_{21} & a_{22} & .. & a_{2N} \\ .. & .. & .. & .. \\ a_{N1} & a_{N2} & .. & a_{NN} \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ .. \\ x_{N1} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ .. \\ b_{N1} \\ \end{pmatrix} $ (1)

Lösung

Allgemeine Lösung

$\boxed{x_{1} = \dfrac{D_1}{D}}$    (vgl. 3.1 Herleitung)

$\boxed{x_{2} = \dfrac{D_2}{D}}$    (vgl. 3.2 Herleitung)

$..$

$\boxed{x_{N} = \dfrac{D_N}{D}}$    (vgl. 3.N Herleitung)

Explizite Lösung für $N = 2$

$a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}, b_{1}, b_{2} \rightarrow x_1, x_2$

$\boxed{x_{1} = \dfrac{a_{22} b_{1} - a_{12} b_{2}}{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}}}$ $\boxed{x_{2} = \dfrac{a_{11} b_{2} - a_{21} b_{1}}{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}}}$

Explizite Lösung für $N = 3$

$a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{32}, a_{33}, b_1, b_2, b_3 \rightarrow x_1, x_2, x_3$

$\boxed{x_{1} = \dfrac{b_{1}[a_{22} a_{33} - a_{12} a_{32}] - b_2[a_{12} a_{33} - a_{13} a_{32}] + b_3[a_{12} a_{23} - a_{13} a_{22}]}{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}}}$

$\boxed{x_{2} = \dfrac{a_{11}[a_{33}b_{2} - a_{23}b_{3}] - a_{21}[a_{33}b_{1} - a_{13}b_{3}] + a_{31}[a_{23}b_{1} - a_{13}b_{2}]}{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}}}$

$\boxed{x_{3} = \dfrac{a_{11}[a_{22}b_{3} - a_{32}b_{2}] - a_{21}[a_{12}b_{3} - a_{32}b_{1}] + a_{31}[a_{12}b_{2} - a_{22}b_{1}]}{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}}}$

Herleitung

Erweiterte Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems (1):

                   $x_1$      $x_1$      $..$       $x_N$
                  $---------$
$M_c := \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & .. & a_{1N} & b_{1}\\ a_{21} & a_{22} & .. & a_{2N} & b_{2}\\ .. & .. & .. & .. & ..\\ a_{N1} & a_{N2} & .. & a_{NN} & b_{N}\\ \end{pmatrix}$    (2)

Die gesuchten Variablen $x_i$ berechnen sich mit:

$\boxed{x_1 = \dfrac{det\begin{pmatrix} b_{1} & a_{12} & .. & a_{1N}\\ b_{2} & a_{22} & .. & a_{2N}\\ .. & .. & .. & .. \\ b_{N} & a_{N2} & .. & a_{NN}\\ \end{pmatrix}}{det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & .. & a_{1N} \\ a_{21} & a_{22} & .. & a_{2N} \\ .. & .. & .. & .. \\ a_{N1} & a_{N2} & .. & a_{NN} \\ \end{pmatrix}} =: \dfrac{D_1}{D}}$    (3.1)

$\boxed{x_2 = \dfrac{det\begin{pmatrix} a_{11} & b_{1} & .. & a_{1N}\\ a_{21} & b_{2} & .. & a_{2N}\\ .. & .. & .. & .. \\ a_{N1} & b_{N} & .. & a_{NN}\\ \end{pmatrix}}{det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & .. & a_{1N} \\ a_{21} & a_{22} & .. & a_{2N} \\ .. & .. & .. & .. \\ a_{N1} & a_{N2} & .. & a_{NN} \\ \end{pmatrix}} =: \dfrac{D_2}{D}}$    (3.2)

$..$

$\boxed{x_N = \dfrac{det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & .. & b_{1}\\ a_{21} & a_{22} & .. & b_{2}\\ .. & .. & .. & .. \\ a_{N1} & a_{N2} & .. & b_{N}\\ \end{pmatrix}}{det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & .. & a_{1N} \\ a_{21} & a_{22} & .. & a_{2N} \\ .. & .. & .. & .. \\ a_{N1} & a_{N2} & .. & a_{NN} \\ \end{pmatrix}} =: \dfrac{D_N}{D}}$    (3.N)

Bemerkung

Für eine numerische Berechnung der $x_i$ eignet sich vorzugsweise das "Eleminationsverfahren von Gauss",
da die oben beschriebene Determinantenberechnung fü $N >= 4$ einen zeitlich erheblichen Aufwand bedeutet:
"Cramersche_Regel - Rechenaufwand"

WebSites Module Mathematik