Operational Amplifier - Combined mit Offset

Übersicht

Bekannt: $U_p, U_m, R_p, R_m, R_a, R_b$

Bedingung: $U_{d} = 0$

Gesucht: Ausgangsspannung $U_a$

Die Ausgangsspannung $U_a$ ergibt sich zu:

$\boxed{U_a = \dfrac{R_a R_b}{R_p(R_a - R_b)}U_p - \dfrac{R_a R_b}{R_m(R_a - R_b)}U_m}$

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Herleitung

Die Ausgangsspannung $U_a$ fällt über zwei Serienwiderständen $R_a, R_p$
parallel zu zwei Serienwiderständen $R_b, R_m$ ab.

$U_d = U_+ - U_- = 0 \Rightarrow U_i := U_+ = U_-$ (0)

$\dfrac{U_a - U_i}{R_a} = \dfrac{U_i - U_p}{R_p}$ (1)

$\dfrac{U_a - U_i}{R_b} = \dfrac{U_i - U_m}{R_m}$ (2)

Elemination von $U_i$:

(1) : $R_p U_a - R_p U_i = R_a U_i - R_a U_p$

$R_p U_a + R_a U_p= R_a U_i + R_p U_i $

$R_p U_a + R_a U_p= U_i (R_p + R_a)$

$U_i = \dfrac{R_a U_p + R_p U_a}{R_a + R_p}$

(2) : $R_m U_a - R_m U_i = R_b U_i - R_b U_m$

$R_m U_a + R_b U_m = R_b U_i + R_m U_i$

$U_i(R_m + R_b) = R_b U_m + R_m U_a$

$U_i = \dfrac{R_b U_m + R_m U_a}{R_b + R_m}$

$\Rightarrow \dfrac{R_a U_p + R_p U_a}{R_a + R_p} = \dfrac{R_b U_m + R_m U_a}{R_b + R_m}$

$(R_b + R_m)(R_a U_p + R_p U_a) = (R_a + R_p)(R_b U_m + R_m U_a)$

$R_a R_b R_m U_p + R_b R_m R_p U_a = R_a R_b R_p U_m + R_a R_m R_p U_a$

$R_a R_m R_p U_a - R_b R_m R_p U_a = R_a R_b R_m U_p - R_a R_b R_p U_m$

$U_a(R_a R_m R_p - R_b R_m R_p) = R_a R_b R_m U_p - R_a R_b R_p U_m$

$U_a = \dfrac{R_a R_b R_m U_p - R_a R_b R_p U_m}{R_a R_m R_p - R_b R_m R_p}$

$U_a = \dfrac{R_a R_b R_m}{R_a R_m R_p - R_b R_m R_p}U_p - \dfrac{R_a R_b R_p}{R_a R_m R_p - R_b R_m R_p}U_m$

$U_a = \dfrac{R_a R_b}{R_a R_p - R_b R_p}U_p - \dfrac{R_a R_b}{R_a R_m - R_b R_m}U_m$

$\boxed{U_a = \dfrac{R_a R_b}{R_p(R_a - R_b)}U_p - \dfrac{R_a R_b}{R_m(R_a - R_b)}U_m}$

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