Mathematik - Dimensionen 1D, 2D, 3D, 4D

In Mathematik und Physik beschreibt die Dimension die Anzahl der unabhängigen Richtungen in einem Raum. Je mehr Dimensionen zur Beschreibung eines physikalischen Zustand bzw. eines physikalischen Vorgangs benötigt werden, desto komplexer ergeben sich die physikalischen Gesetze.

• Die Formulierung physikalischer Gesetze unter Berücksichtigung von Symmetrien reduziert in vielen Fällen die Zahl der Dimensionen und damit die Komplexität der Mathematik!

1D – Eindimensionale Welt

Mathematik:

• Ein 1D-Raum besteht aus einer einzigen Linie.
• Punkte haben nur eine Koordinate: \(x\).
• Eine Gerade ist z. B. durch \(y = mx + b\) definiert.

Physik:

• Bewegung nur entlang einer Achse (z. B. entlang der x-Achse).
• Geschwindigkeit: \(v = \frac{dx}{dt}\)
• Beschleunigung: \(a = \frac{dv}{dt}\)
• Beispiel: Ein Zug, der nur auf einer Schiene vor- und zurückfahren kann.

2D – Zweidimensionale Welt

Mathematik:

• Flächen wie Rechtecke, Kreise, Dreiecke existieren in 2D.
• Punkte haben zwei Koordinaten: \((x, y)\).
• Ein Kreis ist definiert als \(x^2 + y^2 = r^2\).

Physik:

• Bewegung in zwei Richtungen (x- und y-Achse).
• Newtonsche Mechanik in 2D:
  
  \[\vec{F} = m \cdot \vec{a} \quad \text{(Kraft = Masse × Beschleunigung)}\]
• Beispiel: Billardkugeln auf einem Tisch oder ein Auto auf einer flachen Straße.

3D – Dreidimensionale Welt

Mathematik:

• Körper wie Kugeln, Würfel und Pyramiden existieren in 3D.
• Punkte haben drei Koordinaten: \((x, y, z)\).
• Eine Kugel ist definiert als:
  
  \[x^2 + y^2 + z^2 = r^2\]

Physik:

• Bewegung in drei Richtungen (x-, y- und z-Achse).
• Newtonsche Mechanik in 3D bleibt gleich, nur mit Vektoren:
  
  \[\vec{F} = m \cdot \vec{a}\]
• Schwerkraft im Raum:
  
  \[F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}\]
• Beispiel: Flugzeuge bewegen sich in 3D (vorwärts, seitwärts, hoch/runter).

4D – Vierdimensionale Welt

Mathematik:

• Punkte haben vier Koordinaten: \((x, y, z, w)\).
• Ein 4D-Hyperwürfel (Tesserakt) ist die 4D-Version eines Würfels.

Physik:

• In der Relativitätstheorie wird die Zeit als vierte Dimension betrachtet.
• Raumzeit: Ein Objekt in der Raumzeit hat Koordinaten \((x, y, z, t)\).
• Die Minkowski-Metrik beschreibt Abstände in der Raumzeit:
  
  \[s^2 = c^2 t^2 - x^2 - y^2 - z^2\]
• Beispiel: Licht bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit \(c\) in der 4D-Raumzeit.

Zusammenfassung der Dimensionen