Mathematik : Integrale

Es folgt eine kurze Übersicht über die Definitionen und Regeln der Integralrechnung in der Mathematik.
(Es fehlen noch Bilder und ausführliche Beispiele!)

1. Grundlagen der Integralrechnung

1.1 Integral als Umkehrung der Ableitung

Das Integral ist die Umkehrung der Ableitung. Es gibt zwei Hauptarten von Integralen:

  1. Unbestimmtes Integral (Stammfunktion)
  2. Bestimmtes Integral (Flächenberechnung)

1.2 Unbestimmtes Integral (Stammfunktion)

Ein unbestimmtes Integral ist die Menge aller Stammfunktionen $F(x)$, sodass:

$\boxed{F'(x) = f(x)}$

Das unbestimmte Integral wird mit dem Integralzeichen $\int\limits$ geschrieben:

$\boxed{\int\limits f(x) \, dx = F(x) + C}$

Hier ist $C$ eine Integrationskonstante, da Ableitungen Konstante verlieren.

1.3 Bestimmtes Integral (Flächeninhalt)

Ein bestimmtes Integral berechnet den Flächeninhalt unter einer Funktion zwischen zwei Grenzen $a$ und $b$:

$\boxed{\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)}$

Hier ist $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$, also $\boxed{F'(x) = f(x)}$.

Das bestimmte Integral wird durch das Hauptsatz der Integral- und Differenzialrechnung begründet.

2. Wichtige Integrationsregeln

2.1 Grundlegende Integrale

Funktion $f(x)$ Integral $\int\limits f(x) dx$
$c$ $cx + C$
$x^n$ ($n \neq -1$) $\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$e^x$ $e^x + C$
$\dfrac{1}{x}$ $ \ln
$\sin x$ $-\cos x + C$
$\cos x$ $\sin x + C$
$\tan x$ $ \ln
$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $\arcsin x + C$
$\dfrac{1}{1+x^2}$ $\arctan x + C$

2.2 Rechenregeln für Integrale

(1) Lineare Regel

$\boxed{\int\limits \left[ a f(x) + b g(x) \right] dx = a \int\limits f(x) dx + b \int\limits g(x) dx}$
Beispiel:
$\boxed{\int\limits (3x^2 + 2x) dx = 3 \int\limits x^2 dx + 2 \int\limits x dx}$

(2) Partielle Integration (Produktregel für Integrale)

Falls $f(x)$ und $g(x)$ differenzierbar sind, dann gilt:

$\boxed{\int\limits u \, dv = u v - \int\limits v \, du}$

Beispiel:
$\boxed{\int\limits x e^x dx}$
Wähle:

Dann:

$\boxed{\int\limits x e^x dx = x e^x - \int\limits e^x dx = x e^x - e^x + C}$

(3) Substitutionsregel (Kettenregel für Integrale)

Falls $g(x)$ differenzierbar ist, dann gilt:

$\boxed{\int\limits f(g(x)) g'(x) dx = \int\limits f(u) du, \quad \text{mit } u = g(x) \text{ und } du = g'(x) dx}$

Beispiel:
$\boxed{\int\limits (3x^2) e^{x^3} dx}$

Setze $u = x^3$, dann ist $du = 3x^2 dx$. Damit:

$\boxed{\int\limits e^u du = e^u + C = e^{x^3} + C}$

(4) Integration durch Partialbruchzerlegung

Für rationale Funktionen kann man sie in einfachere Brüche aufteilen:

$\boxed{\int\limits \dfrac{1}{x^2 - 1} dx = \int\limits \left( \dfrac{1}{2(x-1)} - \dfrac{1}{2(x+1)} \right) dx}$

Verfahren:

  1. Zählergrad < Nennergrad → Zerlege in Partialbrüche.
  2. Lösen des linearen Gleichungssystems.
  3. Integriere die einzelnen Terme.

3. Anwendungen der Integralrechnung

3.1 Flächenberechnung

Die Fläche zwischen zwei Kurven $f(x)$ und $g(x)$ von $a$ bis $b$ ist:

$\boxed{A = \int\limits_{a}^{b} | f(x) - g(x) | dx}$

3.2 Volumenberechnung (Rotationskörper)

Das Volumen eines Rotationskörpers um die x-Achse ist:

$\boxed{V = \pi \int\limits_{a}^{b} \left[f(x)\right]^2 dx}$

Falls um die y-Achse:

$\boxed{V = 2\pi \int\limits_{a}^{b} x f(x) dx}$

3.3 Bogenlänge einer Funktion

Die Länge eines Funktionsgraphen von $x = a$ bis $x = b$ ist:

$\boxed{L = \int\limits_{a}^{b} \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx}$

3.4 Mittlere Funktion und Mittelwertsatz

Der Mittelwert einer Funktion $f(x)$ im Intervall $[a,b]$ ist:

$\boxed{f_{\text{mittel}} = \dfrac{1}{b-a} \int\limits_{a}^{b} f(x) dx}$

Der Mittelwertsatz der Integralrechnung besagt, dass es ein $c \in (a,b)$ gibt mit:

$\boxed{\int\limits_{a}^{b} f(x) dx = f(c) (b-a)}$

4. Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung

Der Fundamentalsatz der Analysis verbindet Differential- und Integralrechnung:

  1. Wenn $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist, dann gilt:

    $\boxed{\dfrac{d}{dx} \int\limits_{a}^{x} f(t) dt = f(x)}$

  2. Das bestimmte Integral kann mit der Stammfunktion berechnet werden:

    $\boxed{\int\limits_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)}$