Mathematik : Differentiale

Es folgt eine kurze Übersicht über die Definitionen und Regeln der Differentialrechnung in der Mathematik.
(Es fehlen noch Bilder und ausführliche Beispiele!)

1. Grundlagen der Differentialrechnung

1.1 Ableitung einer Funktion

Die Ableitung einer Funktion $f(x)$ beschreibt die lokale Änderungsrate der Funktion, also die Steigung der Tangente im Punkt $x$.

Definition der Ableitung:
$\boxed{f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}}$

Falls dieser Grenzwert existiert, nennt man $f$ differenzierbar.

1.2 Bedeutung der Ableitung

• Steigung der Tangente: $f'(x)$ gibt die Steigung der Tangente an der Kurve $y = f(x)$ im Punkt $x$ an.
• Momentane Änderungsrate: Die Ableitung beschreibt, wie sich $f(x)$ bei kleinen Änderungen von $x$ verhält.
• Extremstellen: An lokalen Maxima oder Minima gilt $f'(x) = 0$.
• Wendepunkte: Die zweite Ableitung $f''(x)$ gibt Informationen über Krümmung und Wendepunkte.

2. Ableitungsregeln

2.1 Grundlegende Ableitungen

Funktion $f(x)$	Ableitung $f'(x)$
$c$ (Konstante)	$0$
$x^n$	$n x^{n-1}$
$e^x$	$e^x$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\dfrac{1}{\cos^2 x}$
$\arcsin x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos x$	$\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan x$	$\dfrac{1}{1+x^2}$

2.2 Rechenregeln der Ableitung

(1) Faktorregel

$\boxed{\dfrac{d}{dx} \left[ c \cdot f(x) \right] = c \cdot f'(x) }$

(2) Summenregel

$\boxed{\dfrac{d}{dx} \left[ f(x) + g(x) \right] = f'(x) + g'(x) }$

(3) Produktregel

$\boxed{\dfrac{d}{dx} \left[ f(x) \cdot g(x) \right] = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) }$

(4) Quotientenregel

$\boxed{\dfrac{d}{dx} \left[ \dfrac{f(x)}{g(x)} \right] = \dfrac{f'(x) g(x) - f(x) g'(x)}{g(x)^2} }$

(5) Kettenregel

Falls $y = f(g(x))$, dann gilt:
$\boxed{\dfrac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) }$

3. Höhere Ableitungen

• Die zweite Ableitung:
  $\boxed{ f''(x) = \dfrac{d^2}{dx^2} f(x)}$
  Gibt an, ob eine Funktion konvex (f''(x) > 0) oder konkav (f''(x) < 0) ist.

• Die dritte Ableitung:
  $\boxed{ f'''(x) = \dfrac{d^3}{dx^3} f(x) }$
  Gibt Hinweise auf die Änderung der Krümmung.

• Die n-te Ableitung:
  $\boxed{ f^{(n)}(x) = \dfrac{d^n}{dx^n} f(x) }$

4. Anwendungen der Ableitung

4.1 Monotonie und Extrema

• Steigt eine Funktion in einem Intervall ($f'(x) > 0$), so ist sie dort streng monoton steigend.
• Fällt eine Funktion in einem Intervall ($f'(x) < 0$), so ist sie dort streng monoton fallend.
• An Extremstellen gilt $f'(x) = 0$.
  Um zu entscheiden, ob ein Minimum oder Maximum vorliegt, nutzt man die zweite Ableitung:
  • $f''(x) > 0$ → Minimum
  • $f''(x) < 0$ → Maximum

4.2 Krümmung und Wendepunkte

• Eine Funktion ist konvex, wenn $f''(x) > 0$.
• Eine Funktion ist konkav, wenn $f''(x) < 0$.
• An einem Wendepunkt ändert sich die Krümmung, also gilt $f''(x) = 0$ und $f'''(x) \neq 0$.

4.3 Tangentengleichung

Die Tangente an $f(x)$ im Punkt $x_0$ ist:

$\boxed{ y = f'(x_0) (x - x_0) + f(x_0) }$

4.4 Newton-Verfahren (Nullstellenbestimmung)

Die Nullstellen einer Funktion $f(x)$ lassen sich iterativ mit dem Newton-Verfahren berechnen:

$\boxed{x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} }$

5. Partielle Ableitungen (Mehrdimensionale Funktionen)

Für eine Funktion mit mehreren Variablen $f(x, y)$ gibt es partielle Ableitungen, die sich nur nach einer Variable richten:

$\boxed{\dfrac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h} }$

$\dfrac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x, y+h) - f(x, y)}{h}$

• Die Gradienten eines mehrdimensionalen Funktionsfelds:

$\boxed{\nabla f = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x} \\ \dfrac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix} }$