Mathematik : Matrizen

• Matrizen werden in der Mathematik zur übersichtlichen Darstellung von
  Zustandswerten in mehreren Dimensionen genutzt.
• wichtige Anwendung der Matrizen und Determinanten:
  Lösung von Linearen Gleichungssystemen

Es folgt eine kurze Übersicht über Definition und Eigenschaften von Matrizen.
(Eine spätere ausführliche Beschreibung mit detaillierten Beispielen folgt!)

1. Definitionen

Matrix

Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen, die in Zeilen und Spalten angeordnet sind.
Eine Matrix $A$ mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten wird als $m \times n$-Matrix bezeichnet:

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}$

Zur Darstellung von Matrizen benutzen wir die Index-Schreibweise:

• $a_{ij}$ : einzelnes Matrix-Element in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte
• Reihenfolge der Indizes bei zweidimensionalen Matrizen von links nach rechts:
  $Y, X$ entsprechend: Zeile, Spalte
• bei mehrdimensionalen Matrizen von links nach rechts: $X, Y, Z, W, ..$

Teildefinitionen:

• Zeilenvektor: Eine Matrix mit einer Zeile ($1 \times n$-Matrix).
• Spaltenvektor: Eine Matrix mit einer Spalte ($m \times 1$-Matrix).
• Quadratische Matrix: Eine Matrix mit gleicher Zeilen- und Spaltenanzahl ($n \times n$).
• Diagonalmatrix: Eine quadratische Matrix, bei der nur die Hauptdiagonalelemente ungleich null sind.
• Einheitsmatrix $I_n$: Eine Diagonalmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonale.
• Nullmatrix: Eine Matrix, deren Elemente alle Null sind.

(hier folgen noch Beispiele!)

2. Grundlegende Operationen

2.1 Addition und Subtraktion

Matrizen gleicher Dimension können elementweise addiert oder subtrahiert werden:

$(A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij}, \quad (A - B)_{ij} = A_{ij} - B_{ij}$

Eigenschaften:

• Kommutativität: $A + B = B + A$
• Assoziativität: $(A + B) + C = A + (B + C)$
• Existenz des neutralen Elements: $A + 0 = A$
• Existenz des inversen Elements: $A + (-A) = 0$

2.2 Skalarmultiplikation

Ein Skalar $\lambda$ kann mit einer Matrix multipliziert werden:

$(\lambda A)_{ij} = \lambda \cdot A_{ij}$

Eigenschaften:

• Distributiv: $\lambda (A + B) = \lambda A + \lambda B$
• Assoziativ mit Skalaren: $(\lambda \mu) A = \lambda (\mu A)$
• Neutrales Element: $1 \cdot A = A$

2.3 Matrizenmultiplikation

Zwei Matrizen $A$ ($m \times n$) und $B$ ($n \times p$) können multipliziert werden:

$(A \cdot B)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}$

Eigenschaften:

• Assoziativität: $(A B) C = A (B C)$
• Distributivität: $A (B + C) = A B + A C$
• Im Allgemeinen nicht kommutativ: $A B \neq B A$
• Neutrales Element: $A I = A$, wenn $I$ die Einheitsmatrix ist.

2.4 Transponierte Matrix

Die transponierte Matrix $A^T$ erhält man durch Vertauschen der Zeilen und Spalten:

$(A^T)_{ij} = A_{ji}$

Eigenschaften:

• $(A^T)^T = A$
• $(A + B)^T = A^T + B^T$
• $(AB)^T = B^T A^T$
• $(\lambda A)^T = \lambda A^T$

2.5 Inverse Matrix

Eine quadratische Matrix $A$ ist invertierbar, wenn es eine Matrix $A^{-1}$ gibt, sodass:

$A A^{-1} = A^{-1} A = I$

Die Inverse existiert nur, wenn $\det(A) \neq 0$.

3. Determinanten und Rang

3.1 Determinante einer Matrix

Die Determinante einer quadratischen Matrix $A$ ist eine Zahl, die angibt, ob die Matrix invertierbar ist.

Für eine $2 \times 2$-Matrix:

$\det \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc$

Für eine $3 \times 3$-Matrix:

$\det \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$

Eigenschaften:

• $\det(A B) = \det(A) \cdot \det(B)$
• $\det(A^T) = \det(A)$
• $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$, falls $A$ invertierbar ist.

3.2 Rang einer Matrix

Der Rang einer Matrix ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten.

• Eine Matrix hat vollen Rang, wenn ihr Rang gleich der kleineren Dimension (Zeilen oder Spalten) ist.
• Falls der Rang kleiner als die Anzahl der Zeilen oder Spalten ist, sind die Zeilen oder Spalten linear abhängig.

4. Spezialfälle und Anwendungen

4.1 Lineare Gleichungssysteme

Ein System $A x = b$ hat:

• Eine eindeutige Lösung, wenn $A$ quadratisch und $\det(A) \neq 0$.
• Keine oder unendlich viele Lösungen, wenn $\det(A) = 0$.

4.2 Eigenwerte und Eigenvektoren

Für eine quadratische Matrix $A$ sind die Eigenwerte $\lambda$ und Eigenvektoren $v$ definiert durch:

$A v = \lambda v$

Die Eigenwerte sind die Lösungen der Gleichung:

$\det(A - \lambda I) = 0$