Mathematik : Skalare und Vektoren

Es folgt eine kurze Übersicht über Definitionen und Regeln für Skalare und Vektoren in der Mathematik.
Ausführliche Beispiele folgen später...

1. Skalare

Definition

Ein Skalar ist eine einzelne Zahl, die aus einem bestimmten Zahlenbereich (z. B. $\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$) stammt. Skalare werden zur Skalierung von Vektoren oder Matrizen verwendet.

Eigenschaften von Skalaren:

• Addition: $a + b = b + a$ (Kommutativität)
• Assoziativität der Addition: $(a + b) + c = a + (b + c)$
• Multiplikation: $a \cdot b = b \cdot a$ (Kommutativität)
• Assoziativität der Multiplikation: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
• Distributivität: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
• Existenz des neutralen Elements: $a \cdot 1 = a$
• Existenz des inversen Elements (außer für 0): $a \cdot a^{-1} = 1$

2. Vektoren

Definition

Ein Vektor ist eine geordnete Liste von Zahlen, die als Spalten- oder Zeilenvektor dargestellt werden kann.
Ein Vektor im $\mathbb{R}^n$ hat die Form:

$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$

oder als Zeilenvektor:

$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & \dots & v_n \end{bmatrix}$

Spezielle Vektoren:

• Nullvektor: $\mathbf{0} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 \end{bmatrix}^T$
• Einheitsvektoren: Vektoren mit genau einer 1 und allen anderen Einträgen 0.
• Orthonormale Vektoren: Zwei Vektoren $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ sind orthonormal, wenn sie
  senkrecht stehen ($\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0$) und eine Länge von 1 haben ($\|\mathbf{u}\| = 1$).

3. Operationen mit Vektoren

3.1 Vektoraddition

Zwei Vektoren gleicher Dimension können komponentenweise addiert werden:

$\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ \vdots \\ a_n + b_n \end{bmatrix}$

Eigenschaften:

• Kommutativität: $\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{a}$
• Assoziativität: $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) + \mathbf{c} = \mathbf{a} + (\mathbf{b} + \mathbf{c})$
• Existenz des neutralen Elements: $\mathbf{a} + \mathbf{0} = \mathbf{a}$
• Existenz des inversen Elements: $\mathbf{a} + (-\mathbf{a}) = \mathbf{0}$

3.2 Skalarmultiplikation

Ein Vektor kann mit einem Skalar $\lambda$ multipliziert werden:

$\lambda \mathbf{v} = \lambda \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda v_1 \\ \lambda v_2 \\ \vdots \\ \lambda v_n \end{bmatrix}$

Eigenschaften:

• Distributivität: $\lambda (\mathbf{a} + \mathbf{b}) = \lambda \mathbf{a} + \lambda \mathbf{b}$
• Assoziativität mit Skalaren: $(\lambda \mu) \mathbf{a} = \lambda (\mu \mathbf{a})$
• Neutrales Element: $1 \mathbf{a} = \mathbf{a}$

3.3 Skalares Produkt (inneres Produkt)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^n$ ist:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i$

Eigenschaften:

• Kommutativität: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$
• Distributivität: $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$
• Skalarmultiplikation: $(\lambda \mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = \lambda (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$

3.4 Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren in $\mathbb{R}^3$ ist definiert als:

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{bmatrix}$

Eigenschaften:

• Antisymmetrie: $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$
• Orthogonalität: $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ steht senkrecht auf $\mathbf{a}$ und $\mathbf{b}$.
• Distributivität: $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$

3.5 Norm eines Vektors

Die Länge (Norm) eines Vektors $\mathbf{a}$ ist:

$\|\mathbf{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}$

Die normierte Version eines Vektors ist:

$\mathbf{a}_{\text{norm}} = \dfrac{\mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|}$

3.6 Winkel zwischen Vektoren

Der Winkel $\theta$ zwischen zwei Vektoren $\mathbf{a}$ und $\mathbf{b}$ ist:

$\cos \theta = \dfrac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}$

Wenn $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$, dann sind die Vektoren orthogonal.