Grundlagen Mathematik - Gleichungen

Alle mathematischen Formulierungen, welche die Gleichheit zwischen zwei Mengen darstellen, werden als Gleichungen in der Form geschrieben: $\boxed{<\text{MengeA}> = <\text{MengeB}>}~~$ (1)

Beispiele von Gleichungen

• $\boxed{1 + 2 = 3}$
• $\boxed{3^2 + 4^2 = 5^2}$
• $\boxed{a^2 + b^2 = c^2}$
• $\boxed{2 + x = 3}$
• $\boxed{y = \sin(x)}$
• $\boxed{\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1}$

Diese Formulierung (1) ist gleichbedeutend mit $\boxed{<\text{TermA}> = <\text{TermB}>}$ (2), wobei ein Term jeden beliebigen mathematischen Ausdruck ohne $=$ darstellt.

Beispiel Terme : $\boxed{2}$ , $\boxed{2 +4}$ , $\boxed{35 + \sin(x)}$ , $\boxed{y + \dfrac{2}{3}}$

Rechenregel: "auf beiden Seiten"

Gegeben sei eine Gleichung mit einer Unbekannten in nicht expliziter Form :

Beispiel 1:

Gegeben: Gleichung $\boxed{x + 1 = 2}$
Gesucht ist die explizite Form $x = ...$ zur Berechnung der Unbekannten $x$ aus den gegebenen Termen der Gleichung.
Rechnung:
Auf beiden Seiten exakt die gleichen mathematischen Operationen anwenden,

• um die Werte der rechten und linken Seite des Gleichheitszeichens NICHT zu verändern!
  (Waage symbolisiert durch "$=$" bleibt im Gleichgewicht!)
• um die unbekannte Variable ALLEIN auf einer Seite des Gleichheitszeichens stehen zu haben!

$x + 1 = 2 ~~\vert~ -1$ : "auf beiden Seiten" $-1$ rechnen!
$x + 1 - 1 = 2 - 1$ : vereinfachen!
$x = +1$ : vereinfachen!
Lösung: $\boxed{x = +1}$

Lösung und Lösbarkeit von Gleichungen

Bei der mathematischen Formulierung eines mathematischen oder physikalischen Problems treten eine oder mehrere Gleichungen auf.

• Gegeben sind bei jeder Formulierung alle mit Werten und Einheiten definierten und damit bekannten Konstanten und Variablen des Problems.
• Gesucht werden die $N$ unbekannten Variablen des Problems.
• der Rechenweg beschreibt die komplette und eindeutige Lösung des Problems
• die Lösung formuliert in $N$ Gleichungen die Werte und Einheiten der berechneten (zuvor unbekannten) $N$ Variablen.

Beispiel 2

Gegeben: $\boxed{3 + x = 5}$
Gesucht: Bestimme $x$
Rechenweg:
$3 + x = 5 ~~\vert~ -3$
$3 + x - 3 = 5 - 3$
$0 + x = 5 - 3$
Lösung: $\boxed{x = 2}$

Beispiel 3

Gegeben: $\boxed{\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{2} = 1}$
Gesucht: Bestimme $x$
Rechenweg:
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{2} = 1 ~~\vert~\cdot 2x$

$\dfrac{2x}{x} + \dfrac{3\cdot2x}{2} = 2x$

$2 + 3x = 2x ~~\vert~ -2 -2x$
$2 - 2 + 3x - 2x = 2x - 2x - 2$
Lösung: $\boxed{x = - 2}$

Satz :
Zur Lösung eines Problems mit $N$ unbekannten Variablen werden $N$ voneinander unabhängige Gleichungen benötigt!
Es gibt verschiedene analytische und numerische Verfahren, um $N$ unbekannte Variablen in einem System von $N$ unabhängigen Gleichungen zu lösen.

Beispiel 4

Zwei unabhängige Gleichungen (G1) , (G2) mit zwei Unbekannten $x_s , y_s$ :
Gegeben: Zwei Geraden mit $~\boxed{2x + y = 4}~$ (G1) und $~\boxed{-x + y = 1}$ (G2)
Gesucht: Bestimme den Schnittpunkt $P_s = (x_s | y_s )$
Rechenweg:
(G1) : $2x + y = 4$
$y = -2x + 4$
(G2) : $-x + y = 1$
$y = x + 1$
$G1$ , $G2$ , $y$ gleichsetzen:
$y_s = -2x_s + 4 = y_s = x_s + 1$
$-2x_s + 4 = x_s + 1 ~~\vert~ +2x_s - 1$
$-2x_s + 2x_s + 4 - 1= x_s + 2x_s + 1 - 1$
$3 = 3 x_s$
$\boxed{x_s = 1}$ ist $x_s$-Koordinate des Schnittpunkts
Berechnung $y_s$-Koordinate des Schnittpunkts:
(G1) : $2x_s + y_s = 4$ einsetzen: $x_s = 1$
$2 + y_s = 4 ~~\vert~ -2$
$\boxed{y_s = 2}$
Lösung: Schnittpunkt $\boxed{P_s = (x_s = 1 | y_s = 2)}$