Mathematik - Bruchrechnung

Definition der Bruchrechnung

Die Bruchrechnung befasst sich mit Zahlen, die als Brüche dargestellt werden. Ein Bruch besteht aus einem Zähler (oben) und einem Nenner (unten), getrennt durch einen Bruchstrich:

Bruch $B$ : $\boxed{B := \dfrac{a}{b}}$ mit $a$ : Zähler und $b$ : Nenner

Dabei gilt:

• Zähler (a): Gibt an, wie viele Teile genommen werden.
• Nenner (b): Gibt an, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes geteilt wurde.
• Bedingung: Der Nenner darf nicht 0 sein, da eine Division durch 0 nicht definiert ist.

Rechenregeln der Bruchrechnung

1. Kürzen von Brüchen

Ein Bruch kann gekürzt werden, indem sowohl Zähler als auch Nenner durch dieselbe Zahl (größter gemeinsamer Teiler) geteilt werden:

$\boxed{\dfrac{6}{9} = \dfrac{6 \div 3}{9 \div 3} = \dfrac{2}{3} }$

2. Erweitern von Brüchen

Ein Bruch wird erweitert, indem Zähler und Nenner mit derselben Zahl (ungleich 0) multipliziert werden:

$\boxed{\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \dfrac{8}{12}}$

Rechenoperationen mit Brüchen

1. Addition und Subtraktion von Brüchen

• Gleicher Nenner: Die Zähler werden addiert/subtrahiert, der Nenner bleibt gleich:

$\boxed{\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{3+2}{8} = \dfrac{5}{8}}$
$\boxed{\dfrac{3}{8} - \dfrac{2}{8} = \dfrac{3-2}{8} = \dfrac{1}{8}}$

• Ungleicher Nenner: Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen (kleinstes gemeinsames Vielfaches, KGV):

$\boxed{\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{7}=S}$ Summe zweier Brüche mit ungleichem Nenner

KGV von 5 und 7 ist 35 → Brüche erweitern:

$\boxed{S = \dfrac{2 \cdot 7}{5 \cdot 7} + \dfrac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \dfrac{14}{35} + \dfrac{15}{35} = \dfrac{29}{35} }$

2. Multiplikation von Brüchen

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner:

$\boxed{\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \dfrac{8}{15}}$

3. Division von Brüchen

Der Kehrwert des zweiten Bruchs wird gebildet und dann multipliziert:

$\boxed{\dfrac{2}{3} \div \dfrac{4}{5} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}}$

Vergleich von Brüchen

Brüche können miteinander verglichen werden, indem sie auf denselben Nenner gebracht oder als Dezimalzahlen umgerechnet werden:
$\boxed{\dfrac{3}{4} = 0.75}$ und $\boxed{\dfrac{2}{3} \approx 0.6667}$ $\Rightarrow ~\boxed{\dfrac{3}{4} > \dfrac{2}{3}}$

Gemischte Zahlen und unechte Brüche

• Unechter Bruch: Zähler ist größer als der Nenner (z. B. \(\dfrac{9}{4}\))
• Gemischte Zahl: Wird in eine Kombination aus ganzer Zahl und Bruch umgewandelt:

$\boxed{\dfrac{9}{4} = 2\dfrac{1}{4} }$

Umgekehrt kann eine gemischte Zahl in einen Bruch umgewandelt werden:

$\boxed{ 2\dfrac{1}{4} = \dfrac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \dfrac{9}{4} }$

Bruchrechnung beim Lösen von Gleichungen

Mathematische Operationen mit Brüchen dienen zur übersichtlichen Äquivalenz-Umformung von Gleichungen:

• Gegeben: $\boxed{\dfrac{5}{x} + \dfrac{1}{7} = 3}$
• Gesucht: Berechne $\boxed{x}$
• Rechnung:

       $\dfrac{5}{x} + \dfrac{1}{7} = 3 ~~\vert~ \cdot x$

       $\dfrac{5 \cdot x}{x} + \dfrac{1 \cdot x}{7} = 3 \cdot x$

       $\dfrac{5}{1} + \dfrac{1 \cdot x}{7} = 3 \cdot x$

       $5 + \dfrac{1}{7}\cdot x = 3 \cdot x ~~\vert~ \cdot 7$

       $35 + x = 21 \cdot x ~~\vert~ -x$

       $35 = 20 x ~~\vert~ \cdot \dfrac{1}{20}$

       $\dfrac{35}{20} = \dfrac{20}{20} x = x$

       $x = \dfrac{35}{20} = \dfrac{5 \cdot 7}{2 \cdot 2 \cdot 5} ~~~$ : kürzen mit 5

• Lösung: $\boxed{x = \dfrac{7}{4} }$

• Probe:

$\dfrac{5}{x} + \dfrac{1}{7} = 3$ und $x = \dfrac{7}{4}$

$\dfrac{5 \cdot 4}{7} + \dfrac{1}{7} = 3~~\vert~ \cdot 7$

$5 \cdot 4 + \dfrac{7}{7} = 3 \cdot 7$

$\boxed{20 + 1 = 21}~~$ q.e.d.