Grundlagen Mathematik - Regeln

Übersicht über alle grundlegenden mathematischen Regeln des einfachen Rechnens :

• Wert, Einheit, Variable, Konstante, Operator
• Basis-Operator-Regeln
• Regeln der Addition, -Subtraktion, -Multiplikation, -Division
• Gesetze der Algebra

Wert (Value)

Werte sind Zahlen aus einer Zahlenmenge : $\boxed{w \in \{ \mathbb{N}, \mathbb{N_0}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{I}, \mathbb{R}, \mathbb{C} \}}$
Beispiel: $\boxed{w = 5 \in \mathbb{N}}$
Beispiel: $\boxed{w = -1.234 \in \mathbb{R}}$

Einheit (Unit)

Einheiten sind physikalische Namen zur Beschreibung von Messgrössen :

• Ort, Länge, $s$ gemessen in Metern/Kilometern : $\boxed{[s] = m}$ oder $\boxed{[s] = km}$
• Zeit $t$ gemessen in Sekunden/Minuten/Stunden : $\boxed{[t] = s}$ oder $\boxed{[t] = m}$ oder $\boxed{[t] = h}$
• Jede Zahl ohne Einheit besitzt per Definition die Einheit $1$ : $\boxed{42 = 42 \cdot 1 = 42}$
  Quelle : Wikipedia - Dimensionslose Grösse
  
  

Variable (Variable)

Variablen sind Namen für Behälter mit mathematischen oder physikalischen Werten mit Einheiten.

• eine Länge $l$ entspricht $5$ Metern : $\boxed{l = 5 \cdot m = 5 m}$

• eine Zeit $t$ entspricht $3.2$ Sekunden : $\boxed{t = 3.2 \cdot s = 3.2 s}$

• Der optional Malpunkt zwischen Wert und Einheit kann daher weggelassen werden!

• Jede Variable ohne Einheit besitzt per Definition die dimensionslose Einheit $1$.
  Seiten eines Rechtecks $a, b$ : Fläche des Rechtecks mit $A_R = a \cdot b$

  • mathematische Formulierung ohne explizite Einheiten:
    mit den Seiten $\boxed{a = 2 = 2 \cdot 1}$ und $\boxed{b = 3 = 3 \cdot 1}$ ergibt sich die Fläche $A$ zu:
    $\boxed{A_R = a \cdot b ~~\Rightarrow~~ A_R = (2 \cdot 1) \cdot (3 \cdot 1) ~~\Leftrightarrow~~ A_R = 2 \cdot 3 =6 }$
  • mathematische Formulierung mit expliziten Einheiten:
    mit den Seiten $\boxed{a = 2 cm = 2 \cdot cm}$ und $\boxed{b = 3 cm = 3 \cdot cm}$ ergibt sich die Fläche $A$ zu:
    $\boxed{A_R = a \cdot b ~~\Rightarrow~~ A_R = 2 \cdot cm \cdot 3 \cdot cm ~~\Leftrightarrow~~ A_R = 2 \cdot 3 \cdot cm \cdot cm =6 \cdot cm^2 =6 cm^2}$
    
    

Konstante (Constant)

• Jede nicht änderbare Zahl (innerhalb einer Aufgabenbeschreibung) ist der Wert einer Konstanten.
• Eine Konstante kann einen Namen neben ihrem festen Wert besitzen.
  Kreiszahl $\boxed{\pi = 3.1415926}$ [Wikipedia Kreiszahl $\pi$]
• Jede Konstante ohne explizit ausgewiesene Einheit besitzt die dimensionslose Einheit $1$ :
  Wurzel von $2$ : $\boxed{\text{Sqrt2} = \sqrt{2} = 1.414214 = 1.414214 \cdot 1 = 1.414214}$
  
  

Operator (Operator)

Operator	Symbol	Operation $\rightarrow$ Ergebnis	Beispiel
Plus	$+$	Summand $+$ Summand = Summe	$1 + 2 = 3$
Minus	$-$	Minuend $-$ Subtrahend = Differenz	$3 - 2 = 1$
Mal	$\cdot$	Faktor $\cdot$ Faktor = Produkt	$2 \cdot 3 = 6$
Geteilt	$:$	Dividend $:$ Divisor = Quotient	$6 : 2 = 3$
Definiert	$:=$	Definitionsgrösse $:=$ Beschreibung	$v := s/t$
Einheit	$[~]$	Einheit einer Variablen : $[\text{variable}] = \text{einheit}$	$[v] := m/s$

Basis-Operator-Regeln

• Punktrechnung($\cdot$,$:$) vor Strichrechnung($+$,$-$)
  $\boxed{1 + 2 \cdot 3 = 1 + 6 = 7}$
  
  

• Klammerrechnung vor Strichrechnung
  (Klammern zuerst berechnen)
  $\boxed{2 \cdot (3 + 4) = 2 + 7 = 9}$
  
  

• Operator und Vorzeichen
  $\boxed{a - b = a + (-b)}~~~~$ Beispiel: $5 - 2 = 5 + (-2)$
  
  

• Division als Bruch(übersichtliche Schreibweise)
  $\boxed{a : b = \dfrac{a}{b}}~~~~$ Beispiel: $1 : 3 = \dfrac{1}{3} = 0.\overline{3}$
  
  

• Multiplikation/Division von Zahlen mit gleichen Vorzeichen
  $(+a) \cdot (+b) = +(a \cdot b)$
  $(+a) : (+b) = +(a : b)$
  
  

• Multiplikation/Division von Zahlen mit ungleichen Vorzeichen
  $(+a) \cdot (-b) = -(a \cdot b)$
  $(+a) : (-b) = -(a : b)$
  
  

• Unendlich ist als Zahl nicht erlaubt
  $\boxed{\infty = +\infty = -(-\infty)}$
  
  

Regeln der Addition

• Kommutativgesetz:
  $\boxed{ a + b = b + a }$
  (Die Reihenfolge der Summanden ist beliebig.)
  
  

• Assoziativgesetz:
  $\boxed{ (a + b) + c = a + (b + c) }$
  (Klammern sind beliebig austauschbar.)
  
  

• Neutrales Element der Addition:
  $\boxed{ a + 0 = a }$
  
  

Regeln der Subtraktion

• Es gibt kein Kommutativgesetz:
  $\boxed{ a - b \neq b - a }$ (nur für den Fall $a = b$!)
  
  
• Es gibt kein Assoziativgesetz:
  $\boxed{ (a - b) - c \neq a - (b - c) }$
  
  
• Operator und Vorzeichen:
  $\boxed{ a - b = a + (-b) }$
  
  

Regeln der Multiplikation

• Kommutativgesetz:
  $\boxed{ a \cdot b = b \cdot a }$
  
  
• Assoziativgesetz:
  $\boxed{ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) }$
  
  
• Distributivgesetz:
  $\boxed{ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c }$
  
  
• Neutrales Element:
  $\boxed{ a \cdot 1 = a }$
  
  
• Nullregel:
  $\boxed{ a \cdot 0 = 0 }$
  
  

Regeln der Division

• Es gibt kein Kommutativgesetz:
  $\boxed{ a : b \neq b : a }$
  
  
• Es gibt kein Assoziativgesetz:
  $\boxed{ (a : b) : c \neq a : (b : c) }$
  
  
• Rechenregel:
  $\boxed{ a : b = a \cdot \frac{1}{b} }$
  (Teilen = Multiplizieren mit dem Kehrwert)
  
  
• Nicht erlaubt, undefiniert:
  Division durch 0: $\boxed{ \dfrac{a}{0} = \infty}$ Ergebnis ist nicht definiert
  
  

Gesetze der Algebra

Gesetz	Gilt für Operatoren	Beispiel
Kommutativgesetz	$+$, $\cdot$	$\boxed{a + b = b + a}$
Assoziativgesetz	$+$, $\cdot$	$\boxed{(a + b) + c = a + (b + c)}$
Distributivgesetz	$\cdot$ über $+$	$\boxed{a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c}$