Teilgebiete der Mathematik
Die Mathematik ist in zahlreiche Teilgebiete unterteilt, die sich mit verschiedenen Aspekten von Zahlen, Strukturen, Räumen und Veränderungen befassen.
Dabei unterteilt sich die Mathematik in die
- Reine Mathematik (theoretisch-abstrakte Konzepte) und
- Angewandte Mathematik (praktische Anwendungen) und in die
- Interdisziplinäre Mathematik (Wissenschaftliche Quantisierungen).
1. Reine Mathematik (Theoretische Mathematik)
Diese Gebiete befassen sich mit abstrakten mathematischen Strukturen und Konzepten ohne direkte Anwendung.
1.1. Algebra
- Elementare Algebra (Grundrechenarten, Zahlenmengen, Gleichungen)
- Lineare Algebra (Vektorräume, Matrizen, Eigenwerte)
- Abstrakte Algebra (Gruppen-, Ring- und Körpertheorie)
- Galoistheorie (Zusammenhang zwischen Körpern und Gruppentheorie)
- Homologische Algebra (Studium algebraischer Strukturen mit topologischen Methoden)
- Universelle Algebra (Allgemeine Strukturen und Identitäten in Algebra)
1.2. Analysis (Infinitesimalrechnung)
- Differential- und Integralrechnung (Ableitungen, Integrale)
- Maß- und Integrationstheorie (Lebesgue-Integration)
- Funktionalanalysis (Untersuchung unendlichdimensionaler Räume)
- Harmonische Analysis (Fourier-Transformationen)
- Dynamische Systeme & Chaos-Theorie (Untersuchung zeitabhängiger Prozesse)
1.3. Geometrie & Topologie
- Euklidische Geometrie (Geometrie von Punkten, Linien, Flächen, Körpern)
- Projektive Geometrie (Eigenschaften, die unter Projektionen erhalten bleiben)
- Nicht-euklidische Geometrien (z. B. hyperbolische und elliptische Geometrie)
- Differentialgeometrie (Geometrie gekrümmter Räume, Tensoren, Mannigfaltigkeiten)
- Topologie (Eigenschaften von Räumen unabhängig von deren Form)
- Algebraische Topologie (Homotopie, Homologie)
- Geometrische Gruppentheorie (Zusammenhang zwischen Algebra und Geometrie)
1.4. Zahlentheorie
- Elementare Zahlentheorie (Primzahlen, Kongruenzen)
- Analytische Zahlentheorie (Verteilung der Primzahlen, ζ-Funktionen)
- Algebraische Zahlentheorie (Körper und Ringe in Zahlentheorie)
- Diophantische Gleichungen (Untersuchung von Gleichungen mit ganzzahligen Lösungen)
- Kryptographie (Anwendung von Zahlentheorie für sichere Kommunikation)
1.5. Logik und Mengenlehre
- Mathematische Logik (Aussagenlogik, Prädikatenlogik)
- Beweistheorie (Formale Beweise, Vollständigkeitssätze)
- Rekursionstheorie (Berechenbarkeitstheorie)
- Modelltheorie (Mathematische Strukturen als Modelle logischer Theorien)
- Mengenlehre (Grundlagen der Mathematik, Kardinal- und Ordinalzahlen)
2. Angewandte Mathematik (Praktische Mathematik)
Diese Teilgebiete beschäftigen sich mit der Anwendung mathematischer Konzepte auf praktische Probleme.
2.1. Numerische Mathematik
- Numerische Lineare Algebra (Lösungsmethoden für lineare Gleichungssysteme)
- Numerische Analysis (Approximation von Funktionen und Lösungen)
- Optimierung (Minimierung und Maximierung von Funktionen)
- Fehlertheorie (Stabilität von Algorithmen)
2.2. Stochastik (Wahrscheinlichkeitstheorie & Statistik)
- Wahrscheinlichkeitstheorie (Zufallsvariablen, Erwartungswerte, Verteilungen)
- Statistik (Datenanalyse, Regression, Hypothesentests)
- Stochastische Prozesse (Markow-Ketten, Brownsche Bewegung)
- Finanzmathematik (Risikomanagement, Optionspreistheorie)
2.3. Mathematische Physik
- Gewöhnliche Differentialgleichungen** (Gleichungen der Mechanik)
- Partielle Differentialgleichungen (Gleichungen für Wellen-, Wärme- und Strömungsprobleme)
- Relativitätstheorie (SRT, ART : Geometrische Strukturen der Raumzeit)
- Quantenmechanik (Mathematische Strukturen der Quantenwelt)
- Ergodentheorie (Statistische Mechanik)
2.4. Diskrete Mathematik
- Graphentheorie (Netzwerke, Bäume, Algorithmen)
- Kombinatorik (Zählen von Objekten, Permutationen, Kombinationen)
- Theorie der endlichen Körper (Grundlagen für Codierungstheorie und Kryptographie)
- Automatentheorie (Formale Sprachen, Turingmaschinen)
- Algorithmik & Komplexitätstheorie (Berechenbarkeit, P vs. NP-Problem)
- Codierungstheorie (Fehlerkorrigierende Codes)
- Kryptographie (Public-Key-Verfahren, Verschlüsselungen)
2.6. Mathematische Biologie & Medizin
- Epidemiologische Modelle (Vorhersagen von Krankheitsausbreitung)
- Populationsdynamik (Mathematische Modelle zur Ökologie)
- Neuronale Netze (Mathematische Modelle des Gehirns, KI)
2.7. Operations Research (Optimierung von Prozessen)
- Lineare Programmierung (Optimierung unter Nebenbedingungen)
- Dynamische Programmierung (Entscheidungsprobleme über die Zeit)
- Spieltheorie (Strategische Entscheidungsfindung)
3. Interdisziplinäre Mathematik (Wissenschaftliche Mathematik)
- Mathematische Chemie (Strukturanalyse chemischer Verbindungen)
- Finanzmathematik (Mathematik in der Wirtschaft)
- Wirtschaftsmathematik (Anwendungen in Ökonomie)
- Soziomathematik (Mathematische Modellierung sozialer Systeme)