Grundlagen Mathematik : Algebra
Es folgt eine kompakte Übersicht der Definitionen und Rechenregeln der Algebra.
Unten finden sich Links zu detaillierten Erklärungen und benachbarten Themen.
1. Grundlagen der Algebra
1.1 Grundbegriffe
- Variable: Ein Platzhalter für eine Zahl, z. B. $x, y, z$.
- Term: Ein mathematischer Ausdruck aus Zahlen, Variablen und Operatoren.
- Gleichung: Eine Aussage mit einem Gleichheitszeichen, z. B. $2x + 3 = 7$.
- Ungleichung: Eine Aussage mit $<, >, \leq, \geq$, z. B. $x + 2 > 5$.
2. Grundrechenarten mit Zahlen und Variablen
2.1 Rechenregeln der Zahlen
- Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz):
- Addition: $\boxed{ a + b = b + a }$
- Multiplikation: $\boxed{ a \cdot b = b \cdot a }$
- Assoziativgesetz (Verknüpfungsgesetz):
- Addition: $\boxed{ (a + b) + c = a + (b + c) }$
- Multiplikation: $\boxed{ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) }$
- Distributivgesetz (Verteilungsgesetz):
- $\boxed{ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c }$
2.2 Potenzgesetze
| Regel |
Formel |
| Produktregel |
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ |
| Quotientenregel |
$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ |
| Potenzregel |
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ |
| Potenzprodukt |
$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ |
| Potenzquotient |
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$ |
| Nullte Potenz |
$a^0 = 1$ (falls $a \neq 0$) |
| Negative Potenz |
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ |
2.3 Wurzelgesetze
| Regel |
Formel |
| Wurzel als Potenz |
$\sqrt[n]{a} = a^{\dfrac{1}{n}}$ |
| Produktregel |
$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ |
| Quotientenregel |
$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ |
| Potenzregel |
$\sqrt[n]{a^m} = a^{\dfrac{m}{n}}$ |
3. Gleichungen und Ungleichungen
3.1 Lineare Gleichungen
Eine Gleichung der Form $ax + b = 0$ wird nach $x$ aufgelöst durch:
$\boxed{x = \dfrac{-b}{a}}$
3.2 Lineare Ungleichungen
- Addition/Subtraktion auf beiden Seiten ändert die Richtung nicht.
- Multiplikation/Division mit einer negativen Zahl kehrt das Ungleichheitszeichen um.
3.3 Quadratische Gleichungen
Eine quadratische Gleichung hat die Form:
$\boxed{ax^2 + bx + c = 0}$
Lösungsformel (Mitternachtsformel):
$\boxed{x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}$
Diskriminante $D = b^2 - 4ac$:
- $D > 0$ → 2 Lösungen
- $D = 0$ → 1 Lösung
- $D < 0$ → keine reellen Lösungen
| Formel |
Ausdruck |
| Erste binomische Formel |
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ |
| Zweite binomische Formel |
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ |
| Dritte binomische Formel |
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ |
4. Polynomrechnung
4.1 Addition und Subtraktion von Polynomen
- Gleichartige Terme werden addiert/subtrahiert.
4.2 Multiplikation von Polynomen
- Verteilungsgesetz anwenden.
4.3 Polynomdivision
- Verfahren zur Division von Polynomen.
5. Funktionen und Algebraische Strukturen
5.1 Lineare Funktion
$\boxed{f(x) = mx + b}$
- $m$ = Steigung
- $b$ = y-Achsenabschnitt
5.2 Quadratische Funktion
$\boxed{f(x) = ax^2 + bx + c}$
- Scheitelpunkt $S(x_s, y_s)$ mit:
$x_s = \dfrac{-b}{2a}, \quad y_s = f(x_s)$
5.3 Exponentialfunktion
$\boxed{f(x) = a^x}$
- Steigt/fällt exponentiell.
5.4 Logarithmusgesetze
| Regel |
Formel |
| Produktregel |
$\log_b (a \cdot c) = \log_b a + \log_b c$ |
| Quotientenregel |
$\log_b \left(\dfrac{a}{c}\right) = \log_b a - \log_b c$ |
| Potenzregel |
$\log_b (a^n) = n \log_b a$ |
| Basiswechsel |
$\log_b a = \dfrac{\log_c a}{\log_c b}$ |
6. Matrizen und Determinanten
6.1 Definition einer Matrix
Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen:
$\boxed{A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} }$
6.2 Matrixoperationen
- Addition: Elementweise Addition.
- Multiplikation mit Skalar: Jedes Element wird mit dem Skalar multipliziert.
- Matrixmultiplikation: Zeilen-Spalten-Produkt.
6.3 Determinante einer 2×2-Matrix
$\boxed{\det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc }$
6.4 Inverse einer 2×2-Matrix
Falls $\det(A) \neq 0$:
$\boxed{A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} }$
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