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Was ist Entropie? Liste aller Gleichungen mit Erklärungen

Entropie ist ein fundamentales Konzept der Physik, insbesondere der Thermodynamik, Informationstheorie und statistischen Mechanik. Allgemein misst Entropie die Unordnung, Zahl möglicher Mikrozustände oder den Informationsgehalt/Unsicherheit eines Systems.

Thermodynamik

1. Clausius-Definition

$$dS = \frac{\delta Q_\text{rev}}{T}$$ $S$ ist die Entropie, $\delta Q_\text{rev}$ die reversibel zu- oder abgeführte Wärme, $T$ die absolute Temperatur. Die Entropieänderung ist Wärmeaufnahme geteilt durch Temperatur.

2. Entropieänderung bei endlicher Wärmemenge

$$\Delta S = \int_{A}^{B} \frac{\delta Q_\text{rev}}{T}$$ Berechnet die Gesamtänderung der Entropie während eines reversiblen Prozesses.

3. Entropie eines idealen Gases (isotherme Zustandsänderung)

$$\Delta S = nR \ln\left( \frac{V_2}{V_1} \right)$$ $n$ ist Stoffmenge, $R$ die Gaskonstante, $V_1$ und $V_2$ die Volumina. Die Entropie wächst, wenn das Gas sich ausdehnt.

4. Entropie eines idealen Gases (allgemeine Form)

$$\Delta S = n C_V \ln\left( \frac{T_2}{T_1} \right) + n R \ln\left( \frac{V_2}{V_1} \right)$$ $C_V$ ist die Wärmekapazität bei konstantem Volumen. Berücksichtigt Temperatur- und Volumenänderung gleichzeitig.

5. Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik

$$\Delta S_\text{gesamt} \ge 0$$ Die Gesamtentropie eines abgeschlossenen Systems kann nie abnehmen; sie steigt oder bleibt konstant.

6. Boltzmann-Gleichung (statistische Mechanik)

$$S = k_B \ln \Omega$$ $k_B$ ist die Boltzmann-Konstante, $\Omega$ die Anzahl der Mikrozustände. Je mehr mögliche Mikrozustände, desto größer die Entropie.

Statistische Mechanik (allgemeinere Form)

7. Gibbs-Entropie

$$S = -k_B \sum_i p_i \ln p_i$$ $p_i$ ist die Wahrscheinlichkeit für Mikrozustand $i$. Misst die Unordnung eines probabilistischen Ensembles.

8. Kontinuierliche Gibbs-Entropie

$$S = -k_B \int p(x) \ln p(x), dx$$ Für kontinuierlich verteilte Zustände, z.B. in Phasenräumen.

Informationstheorie

9. Shannon-Entropie

$$H = - \sum_i p_i \log_2 p_i$$ $H$ misst den mittleren Informationsgehalt (Unsicherheit) einer Quelle. Ein hochgradig zufälliges Signal hat hohe Entropie.

10. Differenzielle Shannon-Entropie

$$H = - \int p(x) \log p(x), dx$$ Kontinuierliche Variante. Nutzt oft $\log$ zur Basis $2$ oder $e$.

Quantenmechanik

11. Von-Neumann-Entropie

$$S = -k_B , \mathrm{Tr}(\rho \ln \rho)$$ $\rho$ ist die Dichtematrix eines Quantenzustands. Misst die Unbestimmtheit oder Verschränkung in Quantensystemen.

Chemische Thermodynamik

12. Reaktionsentropie

$$\Delta S_\text{Reaktion} = \sum_i \nu_i S_i$$ $\nu_i$ sind stöchiometrische Koeffizienten, $S_i$ die molaren Entropien. Beschreibt die Entropieänderung einer chemischen Reaktion.

Statistische Ensembles

13. Kanonisches Ensemble (Partitionfunktion)

$$S = k_B \left( \ln Z + \beta E \right)$$ $Z$ ist die Zustandssumme, $\beta = \frac{1}{k_B T}$, $E$ ist die mittlere Energie. Verbindet Entropie mit statistischer Energieverteilung.

Thermodynamische Potentiale

14. Entropie aus Helmholtz-Freier Energie

$$S = - \left( \frac{\partial F}{\partial T} \right)_V$$ $F$ ist die freie Energie. Die Entropie ist die negative Temperaturableitung des Potentials.

15. Entropie aus Gibbs-Freier Energie

$$S = - \left( \frac{\partial G}{\partial T} \right)_p$$ $G$ ist die Gibbs-Energie. Wichtig für chemische Gleichgewichte und Prozesse bei konstantem Druck.

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