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Bewegungsgleichungen des Physikalischen Pendels

Wir betrachten jetzt das physikalische Pendel: ein beliebiger starrer Körper, der um eine feste, reibungsfreie Achse im Schwerefeld schwingen kann. Ziel: Herleitung der Bewegungsgleichungen und ein Python-Programm für Weg-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungs-Zeit-Funktionen.

1. Modell und Geometrie des physikalischen Pendels

Physikalisches Pendel = starrer Körper mit

• Masse $m$
• festem Drehpunkt $O$
• Schwerpunkt $S$ im Abstand $d$ vom Drehpunkt
• Trägheitsmoment $I$ um die Drehachse durch $O$

Wir beschreiben die Auslenkung durch den Winkel $ (t) $ gegenüber der lotrechten Gleichgewichtslage.

Typische Skizzen:

• Starrer Körper mit Drehpunkt, Schwerpunkt und Winkel $ $
• Darstellung mit Abstand $d$ vom Drehpunkt zum Schwerpunkt und Drehmoment $mgd\sin\theta$

Konvention:

• $ > 0 $ bedeutet Auslenkung z.B. nach rechts
• $ = 0 $ bedeutet Ruhelage (Schwerpunkt senkrecht unter dem Drehpunkt)

2. Kräfte und Drehmoment

Es wirken:

• Gewichtskraft $ F_g = m g $ am Schwerpunkt $S$
• Normalkräfte / Lagerkräfte im Drehpunkt (leisten kein Drehmoment um $O$)

Hebelarm der Gewichtskraft bezüglich $O$ ist $d$. Komponente der Gewichtskraft tangential zur Bahn (d.h. senkrecht zum Hebelarm):

$$F_\text{tan} = - m g \sin\varphi$$

Das zugehörige Drehmoment (Betrag) um $O$:

$$\tau = - m g d \sin\varphi$$

Vorzeichen: Für positive Auslenkung $ $ wirkt das Drehmoment rücktreibend (Richtung kleinere $ $), daher das Minuszeichen.

3. Grundgleichung: Drehmoment = Trägheitsmoment × Winkelbeschleunigung

Rotationsdynamik um $O$:

$$\tau = I ,\ddot\varphi$$

Einsetzen des Drehmoments:

$$I ,\ddot\varphi = - m g d \sin\varphi$$

Dies ist die exakte Bewegungsgleichung des physikalischen Pendels:

$$\ddot\varphi + \frac{m g d}{I} \sin\varphi = 0$$

Sie ist nichtlinear (wegen $ $).

4. Kleinwinkelnäherung und lineare Gleichung

Für kleine Auslenkungen $|\varphi| \ll 1$ (in Radiant):

$$\sin\varphi \approx \varphi$$

Dann wird die Gleichung linear:

$$\ddot\varphi + \frac{m g d}{I} ,\varphi \approx 0$$

Vergleich mit der Standardform der harmonischen Schwingung

$$\ddot\varphi + \omega_0^2 \varphi = 0$$

liefert

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{m g d}{I}}$$

Allgemeine Lösung:

$$\varphi(t) = A \cos(\omega_0 t) + B \sin(\omega_0 t)$$

Für typische Anfangsbedingungen

• Anfangswinkel $ (0) = _0 $
• Anfangswinkelgeschwindigkeit $ (0) = 0 $

ergibt sich:

• $A = \varphi_0$, $B = 0$

also

$$\varphi(t) = \varphi_0 \cos(\omega_0 t)$$

Die Schwingungsperiode:

$$T = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m g d}}$$

5. Weg-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungs-Zeit-Funktionen

Wir können zwei Arten von “Weg” betrachten:

1. den Winkel $ (t) $ (natürlich für ein Drehpendel),
2. den Bogenweg des Schwerpunkts entlang eines Kreisbogens.

Sei $s(t)$ die Bogenlänge relativ zur Ruhelage, dann gilt

$$s(t) = d ,\varphi(t)$$

5.1 Weg-Zeit-Funktion (Winkel und Bogenweg)

Mit der Kleinwinkellösung:

$$\varphi(t) = \varphi_0 \cos(\omega_0 t), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{m g d}{I}}$$

Bogenweg:

$$s(t) = d ,\varphi(t) = d \varphi_0 \cos(\omega_0 t)$$

In vielen Aufgaben nimmt man $ (t) $ selbst als Weggröße.

5.2 Geschwindigkeits-Zeit-Funktion

Winkelgeschwindigkeit:

$$\dot\varphi(t) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\big(\varphi_0 \cos(\omega_0 t)\big) = - \varphi_0 \omega_0 \sin(\omega_0 t)$$

Tangentialgeschwindigkeit des Schwerpunkts:

$$v_\text{tan}(t) = \dot s(t) = d \dot\varphi(t) = - d \varphi_0 \omega_0 \sin(\omega_0 t)$$

5.3 Beschleunigungs-Zeit-Funktion

Winkelbeschleunigung:

$$\ddot\varphi(t) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\big(- \varphi_0 \omega_0 \sin(\omega_0 t)\big) = - \varphi_0 \omega_0^2 \cos(\omega_0 t)$$

Tangentialbeschleunigung:

$$a_\text{tan}(t) = \ddot s(t) = d \ddot\varphi(t) = - d \varphi_0 \omega_0^2 \cos(\omega_0 t)$$

Da $ _0^2 = $, kann man schreiben:

$$a_\text{tan}(t) = - d \varphi_0 \frac{m g d}{I} \cos(\omega_0 t)$$

Oft betrachtet man in der Theorie einfach die Winkelbewegung

• Weg: $ (t) $
• Geschwindigkeit: $ (t) $
• Beschleunigung: $ (t) $

in Analogie zur linearen harmonischen Schwingung.

6. Python-Beispielprogramm

Entwicklung des Python-Programms “2512022312_PhysikalischesPendel.py” :

• Masse $m$ (taucht nur über $ _0 $ auf, also eher symbolisch)
• Abstand $d$ des Schwerpunkts vom Drehpunkt
• Trägheitsmoment $I$ um den Drehpunkt
• Anfangswinkel $ _0 $ mit $ (0) = 0 $

Dann verwenden wir die Kleinwinkellösung

$$\varphi(t) = \varphi_0 \cos(\omega_0 t), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{m g d}{I}}$$

und plotten:

• Weg-Zeit-Funktion: $ (t) $ (und optional $s(t)$)
• Geschwindigkeit-Zeit-Funktion: $ (t) $
• Beschleunigungs-Zeit-Funktion: $ (t) $

Download “2512022312_PhysikalischesPendel.py”

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Physikalische Parameter
g = 9.81   # Erdbeschleunigung [m/s^2]
m = 1.0    # Masse [kg] (nur fuer omega0 relevant)
d = 0.5    # Abstand Schwerpunkt - Drehpunkt [m]
I = 0.4    # Traegheitsmoment um den Drehpunkt [kg*m^2]

# Anfangsauslenkung (kleiner Winkel) in Grad
phi0_deg = 10.0
phi0 = np.deg2rad(phi0_deg)  # Anfangswinkel in rad

# Eigenkreisfrequenz des physikalischen Pendels (Kleinwinkelnäherung)
omega0 = np.sqrt(m * g * d / I)

# Zeitachse: mehrere Perioden
T = 2.0 * np.pi / omega0        # Periodendauer
t_max = 5.0 * T                 # z.B. 5 Perioden
t = np.linspace(0, t_max, 1000)

# Weg-Zeit-Funktionen (Winkel und Bogenlaenge)
phi = phi0 * np.cos(omega0 * t)           # Winkel
s = d * phi                               # Bogenlaenge des Schwerpunkts

# Geschwindigkeits-Zeit-Funktionen
phi_dot = -phi0 * omega0 * np.sin(omega0 * t)  # Winkelgeschwindigkeit
v_tan = d * phi_dot                           # tangentiale Geschwindigkeit

# Beschleunigungs-Zeit-Funktionen
phi_ddot = -phi0 * omega0**2 * np.cos(omega0 * t)  # Winkelbeschleunigung
a_tan = d * phi_ddot                               # tangentiale Beschleunigung

# 1) Weg-Zeit-Funktion (Winkel)
plt.figure()
plt.plot(t, phi)
plt.xlabel("Zeit t [s]")
plt.ylabel("Winkel phi(t) [rad]")
plt.title("Physikalisches Pendel: Winkel-Zeit-Funktion (Kleinwinkelnäherung)")
plt.grid(True)

# Optional: Bogenlaenge s(t)
plt.figure()
plt.plot(t, s)
plt.xlabel("Zeit t [s]")
plt.ylabel("Bogenlaenge s(t) [m]")
plt.title("Physikalisches Pendel: Bogenlaenge s(t)")
plt.grid(True)

# 2) Geschwindigkeit-Zeit-Funktion
plt.figure()
plt.plot(t, phi_dot)
plt.xlabel("Zeit t [s]")
plt.ylabel("Winkelgeschwindigkeit dphi/dt [rad/s]")
plt.title("Physikalisches Pendel: Winkelgeschwindigkeit-Zeit-Funktion")
plt.grid(True)

# Optional: Tangentialgeschwindigkeit
plt.figure()
plt.plot(t, v_tan)
plt.xlabel("Zeit t [s]")
plt.ylabel("Tangentialgeschwindigkeit v_tan(t) [m/s]")
plt.title("Physikalisches Pendel: Tangentialgeschwindigkeit")
plt.grid(True)

# 3) Beschleunigungs-Zeit-Funktion
plt.figure()
plt.plot(t, phi_ddot)
plt.xlabel("Zeit t [s]")
plt.ylabel("Winkelbeschleunigung d2phi/dt2 [rad/s^2]")
plt.title("Physikalisches Pendel: Winkelbeschleunigung-Zeit-Funktion")
plt.grid(True)

# Optional: Tangentialbeschleunigung
plt.figure()
plt.plot(t, a_tan)
plt.xlabel("Zeit t [s]")
plt.ylabel("Tangentialbeschleunigung a_tan(t) [m/s^2]")
plt.title("Physikalisches Pendel: Tangentialbeschleunigung")
plt.grid(True)

plt.show()

Zum Experimentieren:

• Ändere $d$ und $I$ (z.B. für unterschiedliche Körperformen oder andere Drehpunkte).
• Über die Formel $$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m g d}}$$ siehst du direkt, wie Geometrie und Trägheitsmoment die Schwingungsdauer beeinflussen.

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