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Bewegungsgleichungen des Mathematischen Pendels

Wir betrachten das mathematische (einfache) Pendel: eine punktförmige Masse an masseloser, starrer Schnur der Länge $L$, die in einem Gravitationsfeld der Stärke $g$ schwingt. Ziel: Herleitung der Bewegungsgleichungen, inkl. Kleinwinkelnäherung, und ein Python-Programm mit Weg-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungs-Zeit-Funktionen.

1. Modell und Koordinatenwahl

Wir nehmen an:

• Masse $m$ (Pendelbob), Punktmasse
• Schnur: masselos, unveränderliche Länge $L$
• Reibungsfrei (kein Luftwiderstand, keine Lagerreibung)
• Homogene Erdbeschleunigung $g$

Typische Skizzen eines einfachen Pendels findest du hier:

• Übersicht mit Kräften $mg\sin\theta$, $mg\cos\theta$ und Winkel $\theta$
• Darstellung mit Pendellänge $L$ und Auslenkung $\theta$

Wir beschreiben die Auslenkung durch den Winkel $ (t) $ (oft auch $ (t) $ genannt), gemessen von der lotrechten Ruhelage. Konvention:

• $ > 0 $: Auslenkung z.B. nach rechts
• $ = 0 $: senkrecht nach unten (Gleichgewicht)

Die Bahn des Bobs ist ein Kreisbogen mit Radius $L$. Der tangentiale Weg $s(t)$ entlang des Bogens ist mit dem Winkel verknüpft durch $$s(t) = L ,\varphi(t)$$ (genau, solange $ $ in Bogenmaß angegeben ist).

2. Kräfte und Gleichung in Tangentialrichtung

Freikörperbild (Kräfte am Bob):

• Gewichtskraft $ F_g = m g $ nach unten
• Seilspannung $ T $ entlang der Schnur zum Aufhängepunkt

Wir zerlegen die Gewichtskraft in Komponenten entlang der Pendelbahn: Der Anteil tangential zur Bahn (d.h. quer zur Schnur) ist: $$F_\text{tan} = - m g \sin\varphi$$

Vorzeichen: Für $ > 0 $ zieht die Komponente $ -mg$ zurück zur Ruhelage, also in negative Tangentialrichtung (Richtung kleinerer $ $).

Der zweite Newton in Tangentialrichtung: $$m a_\text{tan} = F_\text{tan}$$

Die tangentiale Beschleunigung $a_\text{tan}$ hängt mit der Winkelbeschleunigung $ $ zusammen durch: $$a_\text{tan} = L ,\ddot\varphi$$

Einsetzen: $$m L ,\ddot\varphi = - m g \sin\varphi$$

$m$ kürzt sich heraus: $$L ,\ddot\varphi = - g \sin\varphi$$

Das ist bereits die nichtlineare Bewegungsgleichung: $$\ddot\varphi + \frac{g}{L} \sin\varphi = 0$$

Dies ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung.

3. Herleitung per Drehmoment (Alternative, gleiches Ergebnis)

Um den Aufhängepunkt als Drehpunkt betrachten wir das Drehmoment der Gewichtskraft:

• Hebelarm der tangentialen Komponente: $L$
• Tangentialkomponente: $-mg\sin\varphi$

Drehmoment: $$\tau = - m g L \sin\varphi$$

Dynamik für Rotation: $$\tau = I ,\ddot\varphi$$

Für das mathematische Pendel (Punktmasse im Abstand $L$): $$I = m L^2$$

Einsetzen: $$m g L \sin\varphi = m L^2 \ddot\varphi$$

$m L$ kürzt sich: $$g \sin\varphi = L ,\ddot\varphi$$

also wieder $$\ddot\varphi + \frac{g}{L} \sin\varphi = 0$$

4. Kleinwinkelnäherung und lineare Gleichung

Für kleine Auslenkungen gilt die Näherung $$\sin\varphi \approx \varphi$$ wenn $|\varphi| \ll 1~\text{(in~Rad)}$. Die relative Abweichung bleibt für Winkel $\lesssim 10^\circ$ sehr klein.

Setzen wir diese Approximation in die Gleichung ein: $$\ddot\varphi + \frac{g}{L} \varphi \approx 0$$

Das ist die Standardform einer linearen harmonischen Schwingung: $$\ddot\varphi + \omega_0^2 \varphi = 0$$ mit $$\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{L}}$$

Allgemeine Lösung: $$\varphi(t) = A \cos(\omega_0 t) + B \sin(\omega_0 t)$$

Die Konstanten $A$, $B$ hängen von den Anfangsbedingungen ab. Beispiel:

• Anfangsauslenkung $ (0) = _0 $
• Anfangsgeschwindigkeit $ (0) = 0 $

Dann:

1. Aus $ (0) = A = _0 $ folgt $A = \varphi_0$.
2. Aus $ (t) = -A _0 (_0 t) + B _0 (_0 t) $ folgt bei $t=0$: $$\dot\varphi(0) = B \omega_0 = 0 \Rightarrow B = 0$$

Also: $$\varphi(t) = \varphi_0 \cos(\omega_0 t)$$

Periodendauer der Schwingung: $$T = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$

Dies ist die bekannte Periodenformel des mathematischen Pendels im Kleinwinkellimit.

5. Weg-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungs-Zeit-Funktionen

Wir beschreiben die Bewegung über den Winkel $ (t) $ und zusätzlich den tangentialen Weg $ s(t) = L (t) $.

5.1 Weg-Zeit-Funktion (Winkel und Tangentialweg)

Für den Fall $ (t) = _0 (_0 t) $:

• Winkel: $$\varphi(t) = \varphi_0 \cos(\omega_0 t)$$
• Tangentialer Weg (Bogenlänge): $$s(t) = L ,\varphi(t) = L \varphi_0 \cos(\omega_0 t)$$

Wenn du lieber die horizontale Auslenkung $x(t)$ vom tiefsten Punkt betrachtest, gilt (ohne Näherung): $$x(t) = L \sin\varphi(t)$$

Im Kleinwinkellimit ($\sin\varphi \approx \varphi$): $$x(t) \approx L \varphi(t) = s(t)$$

5.2 Geschwindigkeits-Zeit-Funktion

Die Winkelgeschwindigkeit ist $$\dot\varphi(t) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\big(\varphi_0 \cos(\omega_0 t)\big) = - \varphi_0 \omega_0 \sin(\omega_0 t)$$

Tangentialgeschwindigkeit: $$v_\text{tan}(t) = \dot s(t) = L \dot\varphi(t) = - L \varphi_0 \omega_0 \sin(\omega_0 t)$$

Für den horizontalen Weg (Kleinwinkel): $$v_x(t) \approx v_\text{tan}(t) = - L \varphi_0 \omega_0 \sin(\omega_0 t)$$

5.3 Beschleunigungs-Zeit-Funktion

Winkelbeschleunigung: $$\ddot\varphi(t) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\big(- \varphi_0 \omega_0 \sin(\omega_0 t)\big) = - \varphi_0 \omega_0^2 \cos(\omega_0 t)$$

Tangentialbeschleunigung: $$a_\text{tan}(t) = \ddot s(t) = L \ddot\varphi(t) = - L \varphi_0 \omega_0^2 \cos(\omega_0 t)$$

Mit $ 0^2 = g/L $:$$ a(t) = - L _0 (_0 t) = - _0 g (_0 t) $$

Im Kleinwinkelfall ist also die tangentiale Beschleunigung proportional zur Auslenkung (mit negativem Vorzeichen): typisches Kennzeichen der harmonischen Schwingung.

Hinweis: Zusätzlich existiert die radiale (Zentripetal-)Beschleunigung $a_r(t) = \dot\varphi^2(t) L$, die zur Aufrechterhaltung der Kreisbahn nötig ist, aber für die Rückstellkraft nicht verantwortlich ist.

6. Python-Beispielprogramm

6.1 Inhalt des Programms

Das folgende Programm (“2512022310_MathematischesPendel.py”) :

• definiert $g$ und $L$

• wählt eine Anfangsauslenkung $ _0 $ und Anfangsbedingung $ (0) = 0 $

• nutzt die Kleinwinkellösung $$\varphi(t) = \varphi_0 \cos(\omega_0 t), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{L}}$$

• berechnet:

  • Weg (Winkel $ (t) $ und Bogenlänge $ s(t) $),
  • Winkelgeschwindigkeit $ (t) $ (und tangentiale Geschwindigkeit),
  • Winkelbeschleunigung $ (t) $ (und tangentiale Beschleunigung),

• plottet:

  • $ (t) $ als Weg-Zeit-Funktion (Winkel),
  • $ (t) $ als Geschwindigkeits-Zeit-Funktion,
  • $ (t) $ als Beschleunigungs-Zeit-Funktion,
  • optional zusätzlich Bogenlänge $s(t)$.

Download “2512022310_MathematischesPendel.py”

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Physikalische Parameter
g = 9.81   # Erdbeschleunigung [m/s^2]
L = 1.0    # Pendellaenge [m]

# Kleinwinkelauslenkung in RAD (z.B. 10 Grad)
phi0_deg = 10.0
phi0 = np.deg2rad(phi0_deg)  # Anfangswinkel in rad

# Kreisfrequenz der harmonischen Näherung
omega0 = np.sqrt(g / L)

# Zeitachse: mehrere Perioden
T = 2.0 * np.pi / omega0       # Periodendauer
t_max = 5.0 * T                # z.B. 5 Perioden
t = np.linspace(0, t_max, 1000)

# Bewegungsgleichungen im Kleinwinkellimit
# Winkel (Weg)
phi = phi0 * np.cos(omega0 * t)

# Winkelgeschwindigkeit
phi_dot = -phi0 * omega0 * np.sin(omega0 * t)

# Winkelbeschleunigung
phi_ddot = -phi0 * omega0**2 * np.cos(omega0 * t)

# Tangentialer Weg (Bogenlaenge)
s = L * phi

# Tangentialgeschwindigkeit
v_tan = L * phi_dot

# Tangentialbeschleunigung
a_tan = L * phi_ddot

# 1) Weg-Zeit-Funktion (Winkel)
plt.figure()
plt.plot(t, phi)
plt.xlabel("Zeit t [s]")
plt.ylabel("Winkel phi(t) [rad]")
plt.title("Mathematisches Pendel (Kleinwinkelnäherung): Winkel-Zeit-Funktion")
plt.grid(True)

# Optional: Bogenlaenge s(t)
plt.figure()
plt.plot(t, s)
plt.xlabel("Zeit t [s]")
plt.ylabel("Bogenlaenge s(t) [m]")
plt.title("Mathematisches Pendel: Bogenlaenge s(t)")
plt.grid(True)

# 2) Geschwindigkeits-Zeit-Funktion (Winkelgeschwindigkeit)
plt.figure()
plt.plot(t, phi_dot)
plt.xlabel("Zeit t [s]")
plt.ylabel("Winkelgeschwindigkeit dphi/dt [rad/s]")
plt.title("Mathematisches Pendel: Winkelgeschwindigkeit-Zeit-Funktion")
plt.grid(True)

# Optional: Tangentialgeschwindigkeit
plt.figure()
plt.plot(t, v_tan)
plt.xlabel("Zeit t [s]")
plt.ylabel("Tangentialgeschwindigkeit v_tan(t) [m/s]")
plt.title("Mathematisches Pendel: Tangentialgeschwindigkeit")
plt.grid(True)

# 3) Beschleunigungs-Zeit-Funktion (Winkelbeschleunigung)
plt.figure()
plt.plot(t, phi_ddot)
plt.xlabel("Zeit t [s]")
plt.ylabel("Winkelbeschleunigung d2phi/dt2 [rad/s^2]")
plt.title("Mathematisches Pendel: Winkelbeschleunigung-Zeit-Funktion")
plt.grid(True)

# Optional: Tangentialbeschleunigung
plt.figure()
plt.plot(t, a_tan)
plt.xlabel("Zeit t [s]")
plt.ylabel("Tangentialbeschleunigung a_tan(t) [m/s^2]")
plt.title("Mathematisches Pendel: Tangentialbeschleunigung")
plt.grid(True)

plt.show()

Hinweise zum Experimentieren:

• Ändere $L$ und beobachte, wie sich $T = 2\pi \sqrt{L/g}$ ändert.

• Ändere $ _0 $:

  • Für kleine Winkel (z.B. bis etwa $10^\circ$) bleibt die Periode nahezu konstant.
  • Für größere Winkel ist die Kleinwinkelnäherung nicht mehr exakt; dann folgt die reale Bewegung nicht mehr genau einer Sinusfunktion, und die Periode hängt leicht von der Amplitude ab (für exakte Beschreibung bräuchte man dann eine numerische Lösung der nichtlinearen Gleichung).

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