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Bewegungsgleichungen des Senkrechten Wurfs

Wir betrachten jetzt den senkrechten Wurf und leiten die Bewegungsgleichungen her; danach kommt ein Python-Programm mit Plots für Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung.

1. Physikalisches Modell des senkrechten Wurfs

Annahmen:

• Bewegung nur in Vertikalrichtung (1D).
• Homogenes Gravitationsfeld, konstante Erdbeschleunigung $g$.
• Kein Luftwiderstand.
• Koordinatensystem: $y$-Achse nach oben positiv, $y = 0$ z.B. Boden.

Die Gewichtskraft zeigt nach unten, deshalb ist die Beschleunigung $$a_y(t) = -g$$

Typisch: $g \approx 9{,}81~\mathrm{m/s^2}$.

Skizzen zum senkrechten Wurf (externe Links)

• Überblick über Wurf nach oben mit Kraftpfeilen: Skizze: vertikaler Wurf mit Kräften

• Position- und Geschwindigkeits-Zeit-Grafen für senkrechten Wurf: Skizze: Position- und Velocity-Graphen

• Typische $y(t)$-, $v(t)$-, $a(t)$-Graphen eines senkrechten Wurfs nach oben: Skizze: Vertikale Motion-Graphen

2. Grundgleichung aus Newtons zweitem Gesetz

Newtons zweites Gesetz: $$m \vec a = \vec F$$

Einziger Kraftbeitrag (ohne Luftwiderstand) ist die Gewichtskraft $$\vec F = m \vec g$$

Mit der Wahl der positiven Richtung nach oben gilt für die $y$-Komponente: $$a_y(t) = \frac{\mathrm d v_y(t)}{\mathrm d t} = -g$$

Hier beginnt die mathematische Herleitung.

3. Herleitung der Geschwindigkeit-Zeit-Funktion

Aus der Definition der Beschleunigung: $$a_y(t) = \frac{\mathrm d v_y(t)}{\mathrm d t} = -g$$

Dies ist eine Differentialgleichung mit konstanter rechter Seite. Integriere von $t = 0$ bis $t$: $$\int_{v_y(0)}^{v_y(t)} \mathrm d v_y = \int_0^t -g ,\mathrm d t$$

Linke Seite: $$\int_{v_y(0)}^{v_y(t)} \mathrm d v_y = v_y(t) - v_y(0)$$

Rechte Seite: $$\int_0^t -g ,\mathrm d t = -g t$$

Damit: $$v_y(t) - v_y(0) = -g t$$

Bezeichne die Anfangsgeschwindigkeit (zum Zeitpunkt $t=0$) mit $$v_0 := v_y(0)$$

Ergebnis: $$v_y(t) = v_0 - g t$$

Interpretation:

• Senkrechter Wurf nach oben: $v_0 > 0$. Die Geschwindigkeit nimmt linear ab, wird im Scheitelpunkt $v_y(t_\mathrm{max}) = 0$, danach negativ (Rückfall).
• Senkrechter Wurf nach unten: $v_0 < 0$, die (nach unten gerichtete) Geschwindigkeit wird in der Betragsgröße größer, weil $- g t$ sie weiter ins Negative schiebt.
• Freier Fall (Loslassen) ist der Spezialfall $v_0 = 0$.

4. Herleitung der Weg-Zeit-Funktion

Definition der Geschwindigkeit als zeitliche Ableitung der Ortsfunktion: $$v_y(t) = \frac{\mathrm d y(t)}{\mathrm d t}$$

Setze die bereits hergeleitete Geschwindigkeit ein: $$\frac{\mathrm d y(t)}{\mathrm d t} = v_0 - g t$$

Integriere erneut von $0$ bis $t$: $$\int_{y(0)}^{y(t)} \mathrm d y = \int_0^t (v_0 - g t') ,\mathrm d t'$$

Linke Seite: $$\int_{y(0)}^{y(t)} \mathrm d y = y(t) - y(0)$$

Definiere die Anfangshöhe $$y_0 := y(0)$$

Rechte Seite: $$\int_0^t (v_0 - g t') ,\mathrm d t' = \int_0^t v_0,\mathrm d t' - \int_0^t g t',\mathrm d t' = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$$

Damit: $$y(t) - y_0 = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$$

und schließlich die Weg-Zeit-Funktion: $$y(t) = y_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$$

Interpretation:

• Für $v_0 > 0$ (Wurf nach oben) ist der Term $v_0 t$ zunächst dominant, $y(t)$ steigt. Später dominiert $-\frac{1}{2} g t^2$ und der Körper fällt zurück.

• Der Scheitelpunkt wird erreicht, wenn $v_y(t) = 0$: $$v_0 - g t_\mathrm{max} = 0 \quad \Rightarrow \quad t_\mathrm{max} = \frac{v_0}{g}$$ Einsetzen in $y(t)$ ergibt die maximale Höhe $$y_\mathrm{max} = y_0 + v_0 \frac{v_0}{g} - \frac{1}{2} g \left(\frac{v_0}{g}\right)^2 = y_0 + \frac{v_0^2}{g} - \frac{v_0^2}{2 g} = y_0 + \frac{v_0^2}{2 g}$$

• Für $v_0 < 0$ startet der Körper bereits mit abwärts gerichteter Geschwindigkeit.

5. Beschleunigung-Zeit-Funktion

Die Beschleunigung ist konstant: $$a_y(t) = -g$$

Graphisch bedeutet das:

• Die $a(t)$-Kurve ist eine waagrechte Linie bei $-g$ (unterhalb der Zeitachse, weil unten negativ ist in unserem Koordinatensystem).
• Sie ändert sich weder während des Aufstiegs noch beim Abstieg.

6. Gesamte Bewegungsgleichungen des senkrechten Wurfs

Mit oben positiv, konstanter Erdbeschleunigung $g$ und Anfangswerte $y_0$, $v_0$:

• Weg: $$y(t) = y_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$$

• Geschwindigkeit: $$v_y(t) = v_0 - g t$$

• Beschleunigung: $$a_y(t) = -g$$

Diese drei Gleichungen gelten sowohl für Wurf nach oben als auch für Wurf nach unten, solange $v_0$ einfach das richtige Vorzeichen (Richtung) trägt.

7. Python-Programm zum Plotten von $y(t)$, $v(t)$, $a(t)$

Das folgende Python-Programm (“2512022302_SenkrechterWurf.py”) :

• setzt $g = 9.81~\mathrm{m/s^2}$,
• erlaubt dir, Anfangshöhe $y_0$ und Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ zu wählen,
• berechnet die Flugzeit bis zum Aufprall ($y(t) = 0$),
• erzeugt einen Zeitvektor von $t=0$ bis zur Aufprallzeit,
• berechnet $y(t)$, $v(t)$, $a(t)$,
• zeichnet drei Diagramme (Weg-Zeit-, Geschwindigkeits-Zeit-, Beschleunigungs-Zeit-Funktion).

Download “2512022302_SenkrechterWurf.py”

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Konstante Erdbeschleunigung
g = 9.81  # m/s^2

# Anfangswerte für senkrechten Wurf
# Positiv = nach oben
y0 = 0.0     # Startposition in m
v0 = 20.0    # Anfangsgeschwindigkeit in m/s (z.B. Wurf nach oben)

# Optional: Benutzereingabe
# y0 = float(input("Anfangshöhe y0 in m: "))
# v0 = float(input("Anfangsgeschwindigkeit v0 in m/s (positiv nach oben): "))

# Definition der Bewegungsgleichungen
def y(t):
    """Weg-Zeit-Funktion"""
    return y0 + v0 * t - 0.5 * g * t**2

def v(t):
    """Geschwindigkeits-Zeit-Funktion"""
    return v0 - g * t

def a(t):
    """Beschleunigungs-Zeit-Funktion (konstant)"""
    return -g * np.ones_like(t)

# Flugzeit bis zum Boden bestimmen: y(t) = 0
# y(t) = y0 + v0 * t - 0.5 * g * t^2 = 0
# quadratische Gleichung: -0.5*g*t^2 + v0*t + y0 = 0
A = -0.5 * g
B = v0
C = y0

D = B**2 - 4 * A * C  # Diskriminante

if D < 0:
    raise ValueError("Keine reale Lösung für die Flugzeit (prüfe y0 und v0).")

t1 = (-B + np.sqrt(D)) / (2 * A)
t2 = (-B - np.sqrt(D)) / (2 * A)

# Wir brauchen die positive Zeit
t_impact_candidates = [t for t in (t1, t2) if t > 0]
if not t_impact_candidates:
    raise ValueError("Keine positive Aufprallzeit gefunden (prüfe y0 und v0).")

t_impact = max(t_impact_candidates)

# Zeitvektor von 0 bis Aufprallzeit
t = np.linspace(0, t_impact, 400)

# Werte berechnen
y_t = y(t)
v_t = v(t)
a_t = a(t)

# Plot 1: Weg-Zeit-Funktion
plt.figure()
plt.plot(t, y_t)
plt.xlabel("Zeit t [s]")
plt.ylabel("Höhe y(t) [m]")
plt.title("Senkrechter Wurf: Weg-Zeit-Funktion")
plt.grid(True)

# Plot 2: Geschwindigkeit-Zeit-Funktion
plt.figure()
plt.plot(t, v_t)
plt.xlabel("Zeit t [s]")
plt.ylabel("Geschwindigkeit v(t) [m/s]")
plt.title("Senkrechter Wurf: Geschwindigkeit-Zeit-Funktion")
plt.grid(True)

# Plot 3: Beschleunigung-Zeit-Funktion
plt.figure()
plt.plot(t, a_t)
plt.xlabel("Zeit t [s]")
plt.ylabel("Beschleunigung a(t) [m/s^2]")
plt.title("Senkrechter Wurf: Beschleunigung-Zeit-Funktion")
plt.grid(True)

plt.show()

Tipps zum Spielen mit dem Code:

• Setze $v_0 > 0$ für einen Wurf nach oben, $v_0 < 0$ für einen Wurf nach unten.
• Nimm verschiedene $y_0$ (z.B. $y_0 = 10$ oder $50$), um einen Wurf vom Turm zu simulieren.
• Ersetze $g$ durch andere Werte (z.B. $1.62$ für den Mond), um andere Himmelskörper zu modellieren.

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